Normalized defining polynomial
\( x^{15} - 3 x^{14} - 48 x^{13} + 168 x^{12} + 663 x^{11} - 2841 x^{10} - 2236 x^{9} + 16959 x^{8} + \cdots - 1637 \)
Invariants
Degree: | $15$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[15, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(2746410307762150989067078161\) \(\medspace = 3^{20}\cdot 31^{12}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(67.49\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $3^{4/3}31^{4/5}\approx 67.49180266332097$ | ||
Ramified primes: | \(3\), \(31\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $15$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(279=3^{2}\cdot 31\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{279}(256,·)$, $\chi_{279}(1,·)$, $\chi_{279}(163,·)$, $\chi_{279}(4,·)$, $\chi_{279}(70,·)$, $\chi_{279}(97,·)$, $\chi_{279}(64,·)$, $\chi_{279}(202,·)$, $\chi_{279}(109,·)$, $\chi_{279}(16,·)$, $\chi_{279}(94,·)$, $\chi_{279}(250,·)$, $\chi_{279}(187,·)$, $\chi_{279}(157,·)$, $\chi_{279}(190,·)$$\rbrace$ | ||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{5}a^{12}+\frac{1}{5}a^{11}+\frac{2}{5}a^{10}+\frac{1}{5}a^{9}-\frac{2}{5}a^{8}+\frac{1}{5}a^{6}-\frac{1}{5}a^{4}+\frac{2}{5}a^{3}+\frac{2}{5}a^{2}+\frac{1}{5}a-\frac{2}{5}$, $\frac{1}{5}a^{13}+\frac{1}{5}a^{11}-\frac{1}{5}a^{10}+\frac{2}{5}a^{9}+\frac{2}{5}a^{8}+\frac{1}{5}a^{7}-\frac{1}{5}a^{6}-\frac{1}{5}a^{5}-\frac{2}{5}a^{4}-\frac{1}{5}a^{2}+\frac{2}{5}a+\frac{2}{5}$, $\frac{1}{48\!\cdots\!45}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!45}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!66}{96\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{88\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!45}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!34}{48\!\cdots\!45}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!78}{48\!\cdots\!45}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!33}{96\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!74}{96\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!45}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!45}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!45}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!45}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!45}a-\frac{96\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!45}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $14$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{12\!\cdots\!28}{96\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!98}{96\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{64\!\cdots\!51}{96\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!10}{96\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!73}{96\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!29}{96\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!00}{96\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!74}{96\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!22}{96\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!29}{96\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!40}{96\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!69}{96\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!63}{96\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!83}{96\!\cdots\!89}a+\frac{88\!\cdots\!70}{96\!\cdots\!89}$, $\frac{77\!\cdots\!59}{96\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!42}{96\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!11}{96\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!34}{96\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{99\!\cdots\!17}{96\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!81}{96\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{87\!\cdots\!65}{96\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!14}{96\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!34}{96\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!56}{96\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!21}{96\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!31}{96\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{77\!\cdots\!03}{96\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!16}{96\!\cdots\!89}a+\frac{42\!\cdots\!04}{96\!\cdots\!89}$, $\frac{10\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!45}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!45}a^{13}-\frac{85\!\cdots\!13}{96\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!45}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!79}{48\!\cdots\!45}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!27}{48\!\cdots\!45}a^{9}+\frac{82\!\cdots\!30}{96\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!84}{96\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!45}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!45}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!45}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!45}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!45}a+\frac{11\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!45}$, $\frac{96\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!45}a^{14}+\frac{80\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!45}a^{13}-\frac{98\!\cdots\!50}{96\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!45}a^{11}+\frac{96\!\cdots\!32}{48\!\cdots\!45}a^{10}+\frac{67\!\cdots\!34}{48\!\cdots\!45}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!69}{96\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!48}{96\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!46}{48\!\cdots\!45}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!45}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!45}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!94}{48\!\cdots\!45}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!45}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!79}{48\!\cdots\!45}a-\frac{10\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!45}$, $\frac{16\!\cdots\!82}{48\!\cdots\!45}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!68}{48\!\cdots\!45}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!29}{96\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!68}{48\!\cdots\!45}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!45}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!45}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!27}{96\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!88}{96\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{73\!\cdots\!64}{48\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!31}{48\!\cdots\!45}a^{5}+\frac{79\!\cdots\!38}{48\!\cdots\!45}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!45}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!45}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!45}a+\frac{19\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!45}$, $\frac{10\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!45}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!45}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!39}{96\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!94}{48\!\cdots\!45}a^{11}+\frac{88\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!45}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!45}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!61}{96\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!12}{96\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!45}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!66}{48\!\cdots\!45}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!45}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!45}a^{2}-\frac{90\!\cdots\!82}{48\!\cdots\!45}a+\frac{12\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!45}$, $\frac{13\!\cdots\!64}{48\!\cdots\!45}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!92}{48\!\cdots\!45}a^{13}-\frac{64\!\cdots\!08}{48\!\cdots\!45}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!32}{48\!\cdots\!45}a^{11}+\frac{88\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!45}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!78}{48\!\cdots\!45}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!45}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!45}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!34}{48\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!45}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!36}{48\!\cdots\!45}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!22}{48\!\cdots\!45}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!45}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!32}{48\!\cdots\!45}a-\frac{74\!\cdots\!71}{96\!\cdots\!89}$, $\frac{10\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!45}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!45}a^{13}-\frac{92\!\cdots\!94}{96\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!50}{96\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!61}{48\!\cdots\!45}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!23}{96\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!45}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!08}{48\!\cdots\!45}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!28}{48\!\cdots\!45}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!46}{48\!\cdots\!45}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!34}{48\!\cdots\!45}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!45}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!37}{96\!\cdots\!89}a+\frac{22\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!45}$, $\frac{19\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!45}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!45}a^{13}-\frac{98\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!45}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!45}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!45}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!23}{96\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{92\!\cdots\!78}{48\!\cdots\!45}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!45}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!27}{48\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{65\!\cdots\!77}{96\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!45}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!45}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!92}{48\!\cdots\!45}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!32}{96\!\cdots\!89}a-\frac{62\!\cdots\!42}{48\!\cdots\!45}$, $\frac{20\!\cdots\!36}{96\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!45}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!45}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!25}{96\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{79\!\cdots\!46}{48\!\cdots\!45}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!45}a^{9}+\frac{74\!\cdots\!02}{48\!\cdots\!45}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!33}{48\!\cdots\!45}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!91}{48\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!33}{48\!\cdots\!45}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!45}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!45}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!45}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!45}a-\frac{71\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!45}$, $\frac{76\!\cdots\!78}{48\!\cdots\!45}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!95}{96\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!45}a^{12}+\frac{94\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!45}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!14}{48\!\cdots\!45}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!76}{96\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{69\!\cdots\!65}{96\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!45}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!21}{48\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!45}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!45}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!68}{96\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!45}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!22}{96\!\cdots\!89}a+\frac{18\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!45}$, $\frac{93\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!45}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!34}{48\!\cdots\!45}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!45}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!45}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!68}{48\!\cdots\!45}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!45}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!45}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!06}{96\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!14}{48\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!45}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!62}{96\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!82}{96\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!93}{48\!\cdots\!45}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!45}a-\frac{20\!\cdots\!94}{48\!\cdots\!45}$, $\frac{26\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!45}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!45}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!45}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!45}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!03}{48\!\cdots\!45}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!45}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!45}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!61}{48\!\cdots\!45}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!66}{48\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!45}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!92}{48\!\cdots\!45}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!94}{96\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{64\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!45}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!45}a+\frac{31\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!45}$, $\frac{22\!\cdots\!26}{48\!\cdots\!45}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!77}{96\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!33}{48\!\cdots\!45}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!45}{96\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!29}{48\!\cdots\!45}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!42}{48\!\cdots\!45}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!45}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!64}{48\!\cdots\!45}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!22}{96\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!45}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!45}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!45}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!45}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!45}a+\frac{19\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!45}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 552470977.222 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{15}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 552470977.222 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{2746410307762150989067078161}}\cr\approx \mathstrut & 0.172721617890 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A cyclic group of order 15 |
The 15 conjugacy class representatives for $C_{15}$ |
Character table for $C_{15}$ |
Intermediate fields
\(\Q(\zeta_{9})^+\), 5.5.923521.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | $15$ | R | ${\href{/padicField/5.3.0.1}{3} }^{5}$ | $15$ | $15$ | $15$ | ${\href{/padicField/17.5.0.1}{5} }^{3}$ | ${\href{/padicField/19.5.0.1}{5} }^{3}$ | $15$ | $15$ | R | ${\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{15}$ | $15$ | $15$ | $15$ | ${\href{/padicField/53.5.0.1}{5} }^{3}$ | $15$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(3\) | 3.15.20.65 | $x^{15} + 30 x^{14} + 360 x^{13} + 2175 x^{12} + 6840 x^{11} + 11016 x^{10} + 13050 x^{9} + 21060 x^{8} + 9720 x^{7} + 24084 x^{6} + 55728 x^{5} + 167184 x^{4} + 79137 x^{3} + 474822 x^{2} + 138024$ | $3$ | $5$ | $20$ | $C_{15}$ | $[2]^{5}$ |
\(31\) | 31.15.12.1 | $x^{15} + 5 x^{13} + 140 x^{12} + 10 x^{11} + 653 x^{10} + 7850 x^{9} + 375 x^{8} - 54595 x^{7} + 220700 x^{6} + 39424 x^{5} + 3720530 x^{4} + 3044540 x^{3} + 1756035 x^{2} - 7129130 x + 17227170$ | $5$ | $3$ | $12$ | $C_{15}$ | $[\ ]_{5}^{3}$ |