Normalized defining polynomial

\( x^{19} + 19 x^{15} - 19 x^{14} - 19 x^{13} + 171 x^{12} + 19 x^{11} - 266 x^{10} + 19 x^{9} + 475 x^{8} + \cdots + 1 \) x^19 + 19*x^15 - 19*x^14 - 19*x^13 + 171*x^12 + 19*x^11 - 266*x^10 + 19*x^9 + 475*x^8 + 741*x^7 + 437*x^6 + 38*x^5 - 38*x^4 - 19*x^3 + 1

Invariants

Degree:		$19$	sage: K.degree()   gp: poldegree(K.pol)   magma: Degree(K);   oscar: degree(K)
Signature:		$[1, 9]$	sage: K.signature()   gp: K.sign   magma: Signature(K);   oscar: signature(K)
Discriminant:		\(-714209495693373205673756419\) -714209495693373205673756419 \(\medspace = -\,19^{21}\)	sage: K.disc()   gp: K.disc   magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);   oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:		\(25.90\)	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())   gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))   magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));   oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:		$19^{131/114}\approx 29.474396900751216$
Ramified primes:		\(19\) 19	sage: K.disc().support()   gp: factor(abs(K.disc))[,1]~   magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));   oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:		\(\Q(\sqrt{-19}) \)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$1$	sage: K.automorphisms()   magma: Automorphisms(K);   oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $\frac{1}{10}a^{16}+\frac{1}{5}a^{15}-\frac{1}{10}a^{14}+\frac{1}{10}a^{13}+\frac{1}{5}a^{12}-\frac{3}{10}a^{11}-\frac{1}{5}a^{10}-\frac{1}{5}a^{9}-\frac{2}{5}a^{8}+\frac{3}{10}a^{6}-\frac{1}{10}a^{5}+\frac{2}{5}a^{4}-\frac{1}{10}a^{3}+\frac{3}{10}a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{3}{10}$, $\frac{1}{370}a^{17}+\frac{6}{185}a^{16}-\frac{171}{370}a^{15}+\frac{51}{370}a^{14}+\frac{16}{185}a^{13}-\frac{123}{370}a^{12}-\frac{71}{185}a^{11}+\frac{69}{185}a^{10}-\frac{52}{185}a^{9}-\frac{14}{37}a^{8}+\frac{93}{370}a^{7}-\frac{41}{370}a^{6}+\frac{92}{185}a^{5}-\frac{91}{370}a^{4}-\frac{147}{370}a^{3}+\frac{15}{74}a^{2}-\frac{137}{370}a+\frac{15}{37}$, $\frac{1}{26\!\cdots\!10}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!10}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!55}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!55}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!55}a^{14}-\frac{90\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!10}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!47}{53\!\cdots\!02}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!55}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!55}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!10}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!55}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!36}{26\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!55}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!10}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!10}a^{2}-\frac{52\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!55}a+\frac{12\!\cdots\!59}{53\!\cdots\!02}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14, a^15, 1/10*a^16 + 1/5*a^15 - 1/10*a^14 + 1/10*a^13 + 1/5*a^12 - 3/10*a^11 - 1/5*a^10 - 1/5*a^9 - 2/5*a^8 + 3/10*a^6 - 1/10*a^5 + 2/5*a^4 - 1/10*a^3 + 3/10*a^2 - 1/2*a + 3/10, 1/370*a^17 + 6/185*a^16 - 171/370*a^15 + 51/370*a^14 + 16/185*a^13 - 123/370*a^12 - 71/185*a^11 + 69/185*a^10 - 52/185*a^9 - 14/37*a^8 + 93/370*a^7 - 41/370*a^6 + 92/185*a^5 - 91/370*a^4 - 147/370*a^3 + 15/74*a^2 - 137/370*a + 15/37, 1/26521869359148268510*a^18 - 6826040825032609/26521869359148268510*a^17 + 628721947265875046/13260934679574134255*a^16 + 6413722722121603321/13260934679574134255*a^15 - 1260785536523544687/13260934679574134255*a^14 - 909665398604062088/2652186935914826851*a^13 - 6616310951575836579/26521869359148268510*a^12 - 396876292381548847/5304373871829653702*a^11 - 1381901801247986266/13260934679574134255*a^10 + 2427022988972449907/13260934679574134255*a^9 - 4661541396092582077/26521869359148268510*a^8 - 411399133396466912/13260934679574134255*a^7 - 1276119457010125836/2652186935914826851*a^6 + 608820512510773566/2652186935914826851*a^5 - 3736187603432184098/13260934679574134255*a^4 + 1977641008305862037/26521869359148268510*a^3 + 480456212482391413/26521869359148268510*a^2 - 5284893778945036104/13260934679574134255*a + 1201796264987315159/5304373871829653702

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$

Unit group

Rank:		$9$	sage: UK.rank()   gp: K.fu   magma: UnitRank(K);   oscar: rank(UK)
Torsion generator:		\( -1 \) -1  (order $2$)	sage: UK.torsion_generator()   gp: K.tu[2]   magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);   oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:		$a$, $\frac{28\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!10}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!10}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!35}{53\!\cdots\!02}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!55}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!10}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!55}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!55}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!55}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!55}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!10}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!10}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!55}a^{6}+\frac{70\!\cdots\!17}{53\!\cdots\!02}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!10}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!10}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!10}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!55}a-\frac{59\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!55}$, $\frac{10\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!10}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!55}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!59}{53\!\cdots\!02}a^{16}-\frac{98\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!10}a^{15}+\frac{97\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!55}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!10}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!55}a^{12}+\frac{88\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!55}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!55}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!55}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!10}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!10}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!55}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!10}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!10}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!10}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!10}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!55}a+\frac{42\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!55}$, $\frac{58\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!55}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!57}{53\!\cdots\!02}a^{17}-\frac{83\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!10}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!10}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!55}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!10}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!59}{53\!\cdots\!02}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!10}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!55}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!55}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!55}a^{8}+\frac{78\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!10}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!10}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!10}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!55}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!55}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!55}a+\frac{13\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!10}$, $\frac{37\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!10}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!55}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!10}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!25}{53\!\cdots\!02}a^{15}+\frac{71\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!10}a^{13}-\frac{98\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!55}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!55}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!55}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!55}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!93}{53\!\cdots\!02}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!10}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!10}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!67}{71\!\cdots\!30}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!10}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!10}a^{2}-\frac{67\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!51}a+\frac{49\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!55}$, $\frac{45\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!10}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{68\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!10}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!10}a^{15}+\frac{42\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!55}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!13}{53\!\cdots\!02}a^{13}-\frac{89\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!55}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!15}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!55}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!55}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!97}{53\!\cdots\!02}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!10}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!55}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!10}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!10}a^{4}+\frac{87\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!10}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!10}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!55}a+\frac{88\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!55}$, $\frac{45\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!55}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!10}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!55}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!35}{53\!\cdots\!02}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!10}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!55}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!55}{53\!\cdots\!02}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!55}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!55}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!55}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!55}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!10}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!10}a^{5}-\frac{79\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!55}a^{4}+\frac{73\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!10}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!10}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!10}a+\frac{95\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!10}$, $\frac{12\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!55}a^{18}+\frac{83\!\cdots\!63}{53\!\cdots\!02}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!81}{53\!\cdots\!02}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!10}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!10}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!10}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!10}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!55}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!55}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!10}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!55}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!10}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!07}{53\!\cdots\!02}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!55}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!15}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!55}a+\frac{32\!\cdots\!35}{53\!\cdots\!02}$, $\frac{55\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!55}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!10}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!10}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!10}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!55}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!10}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!10}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!05}{53\!\cdots\!02}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!55}a^{9}-\frac{63\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!10}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!55}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!10}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!51}{53\!\cdots\!02}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!55}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!55}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!55}a-\frac{81\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!10}$ a, 2821589847247263681/26521869359148268510*a^18 + 324705206467517067/2652186935914826851*a^17 - 585432652769065589/26521869359148268510*a^16 + 191132438645721835/5304373871829653702*a^15 + 26433092505665539342/13260934679574134255*a^14 + 8674500683414847259/26521869359148268510*a^13 - 63465740653096772422/13260934679574134255*a^12 + 225224168311134681497/13260934679574134255*a^11 + 293716910544596855739/13260934679574134255*a^10 - 390802018397738166627/13260934679574134255*a^9 - 664350131893604224021/26521869359148268510*a^8 + 1454068676105143088703/26521869359148268510*a^7 + 1726432036430511286077/13260934679574134255*a^6 + 700571289363439906217/5304373871829653702*a^5 + 1433930548297838940439/26521869359148268510*a^4 + 217845346692710394983/26521869359148268510*a^3 - 129187184741103019539/26521869359148268510*a^2 - 24921763530522856628/13260934679574134255*a - 5930623190911153336/13260934679574134255, 10216472169536273957/26521869359148268510*a^18 - 2275008152320847384/13260934679574134255*a^17 + 471301533290613459/5304373871829653702*a^16 - 981472696708480119/26521869359148268510*a^15 + 97047999576234644058/13260934679574134255*a^14 - 280249981149156329369/26521869359148268510*a^13 - 31563967927898751713/13260934679574134255*a^12 + 885099751777852957081/13260934679574134255*a^11 - 305308571253631803733/13260934679574134255*a^10 - 1187892587837965041977/13260934679574134255*a^9 + 1270852704703595671157/26521869359148268510*a^8 + 4120227600518466778937/26521869359148268510*a^7 + 2882624745444423282214/13260934679574134255*a^6 + 2171869810938457967139/26521869359148268510*a^5 - 391482032316335402593/26521869359148268510*a^4 - 222712000904005360877/26521869359148268510*a^3 - 232773751980773000991/26521869359148268510*a^2 + 43506890337074631347/13260934679574134255*a + 4221074936489079254/13260934679574134255, 587835118898817727/13260934679574134255*a^18 + 295874246044315057/5304373871829653702*a^17 - 833741532537998963/26521869359148268510*a^16 - 178197647490634089/26521869359148268510*a^15 + 11128583838149070644/13260934679574134255*a^14 + 5756331076903038019/26521869359148268510*a^13 - 13227688078541748759/5304373871829653702*a^12 + 185068613273124051597/26521869359148268510*a^11 + 146759898083815134598/13260934679574134255*a^10 - 211603736437526084316/13260934679574134255*a^9 - 206018677671822818863/13260934679574134255*a^8 + 781306016325852565107/26521869359148268510*a^7 + 161665607980971104074/2652186935914826851*a^6 + 1238974449059344864007/26521869359148268510*a^5 - 40216579352945864537/26521869359148268510*a^4 - 258126480863908369793/13260934679574134255*a^3 - 110442607398365115161/13260934679574134255*a^2 - 12197117101896266647/13260934679574134255*a + 13577545223975122321/26521869359148268510, 3780813683969624329/26521869359148268510*a^18 + 1898494392258969419/13260934679574134255*a^17 - 2736332648864971841/26521869359148268510*a^16 + 316669747534256025/5304373871829653702*a^15 + 7137033800839645310/2652186935914826851*a^14 + 413433788202801051/26521869359148268510*a^13 - 98055571390259410371/13260934679574134255*a^12 + 328381208314870939779/13260934679574134255*a^11 + 366836322100753177629/13260934679574134255*a^10 - 709969937959255685053/13260934679574134255*a^9 - 143263085357028928793/5304373871829653702*a^8 + 2554471921037742693551/26521869359148268510*a^7 + 412576605493501075659/2652186935914826851*a^6 + 3317810332997272501203/26521869359148268510*a^5 + 13913805636897678667/716807279976980230*a^4 - 246865445804180738403/26521869359148268510*a^3 + 52413057959987360351/26521869359148268510*a^2 - 6756871317695123215/2652186935914826851*a + 4974368458754618782/13260934679574134255, 456775977678263989/26521869359148268510*a^18 - 20586574931610225/2652186935914826851*a^17 - 688333087589139477/26521869359148268510*a^16 + 673619756244234913/26521869359148268510*a^15 + 4220230175777873996/13260934679574134255*a^14 - 2492038973293495613/5304373871829653702*a^13 - 8948639051926818749/13260934679574134255*a^12 + 1457677419406644971/358403639988490115*a^11 - 15387837955074084098/13260934679574134255*a^10 - 124420294736810045257/13260934679574134255*a^9 + 33285261942586269597/5304373871829653702*a^8 + 366686049065832317257/26521869359148268510*a^7 + 33921653262637454874/13260934679574134255*a^6 - 207283129108488669409/26521869359148268510*a^5 - 310376617972666057353/26521869359148268510*a^4 + 87409619395906727393/26521869359148268510*a^3 + 166014019622893953291/26521869359148268510*a^2 + 2337328648284928113/13260934679574134255*a + 8847078339453690572/13260934679574134255, 456478150412940428/2652186935914826851*a^18 - 1757524451064269341/13260934679574134255*a^17 + 1994405051339643959/26521869359148268510*a^16 - 533172476738630371/13260934679574134255*a^15 + 17549659688541830935/5304373871829653702*a^14 - 154521679574819541111/26521869359148268510*a^13 + 9360344357990490621/13260934679574134255*a^12 + 157753086996091081455/5304373871829653702*a^11 - 256169364591370945266/13260934679574134255*a^10 - 479238555659726361069/13260934679574134255*a^9 + 446055838389365468454/13260934679574134255*a^8 + 860267864004373871487/13260934679574134255*a^7 + 1881449176558892208201/26521869359148268510*a^6 + 154693625613716621309/26521869359148268510*a^5 - 79064895642625901033/13260934679574134255*a^4 + 73823550448124763301/26521869359148268510*a^3 + 12333067963459397279/26521869359148268510*a^2 - 10662468563527617121/26521869359148268510*a + 9572436075278189679/26521869359148268510, 1228960797721632798/13260934679574134255*a^18 + 83955582070005463/5304373871829653702*a^17 + 1770738504045781/5304373871829653702*a^16 + 220352876250622713/26521869359148268510*a^15 + 4601332298018491558/2652186935914826851*a^14 - 38212263721120744687/26521869359148268510*a^13 - 54506667488932031031/26521869359148268510*a^12 + 416228184172715520827/26521869359148268510*a^11 + 10083366268357866639/2652186935914826851*a^10 - 312461835986035716316/13260934679574134255*a^9 - 12241280820984963361/13260934679574134255*a^8 + 1048489469828969610863/26521869359148268510*a^7 + 1017155151839025136928/13260934679574134255*a^6 + 1607903200673398302441/26521869359148268510*a^5 + 38462712232865724407/5304373871829653702*a^4 - 130516860614061348213/13260934679574134255*a^3 - 1047271428372062413/358403639988490115*a^2 + 10121692406694806287/13260934679574134255*a + 32085529577805335/5304373871829653702, 555287056779977302/13260934679574134255*a^18 - 168573020837348313/26521869359148268510*a^17 - 291912677727288233/26521869359148268510*a^16 - 732391738932965329/26521869359148268510*a^15 + 10628675475050745167/13260934679574134255*a^14 - 24426500430777267651/26521869359148268510*a^13 - 23360949495103726999/26521869359148268510*a^12 + 36902076276080748105/5304373871829653702*a^11 + 1518028377160012425/2652186935914826851*a^10 - 170125298610099758751/13260934679574134255*a^9 - 6368540210807943951/2652186935914826851*a^8 + 610589038231951503043/26521869359148268510*a^7 + 462600773741659467628/13260934679574134255*a^6 + 165595177084956167969/26521869359148268510*a^5 - 119492294807305710051/5304373871829653702*a^4 - 299085447248460795583/13260934679574134255*a^3 - 134088371211786932842/13260934679574134255*a^2 - 37114624160516428979/13260934679574134255*a - 8104393220559002191/26521869359148268510	sage: UK.fundamental_units()   gp: K.fu   magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];   oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:		\( 1437945.22979 \)	sage: K.regulator()   gp: K.reg   magma: Regulator(K);   oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{1}\cdot(2\pi)^{9}\cdot 1437945.22979 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{714209495693373205673756419}}\cr\approx \mathstrut & 0.821198882384 \end{aligned}\]

Galois group

$C_{19}:C_6$ (as 19T4):

Intermediate fields

Frobenius cycle types

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(19\) 19	19.19.21.11	$x^{19} + 247 x^{3} + 19$	$19$	$1$	$21$	$C_{19}:C_{6}$	$[7/6]_{6}$