Normalized defining polynomial
\( x^{21} - 5 x^{20} + 11 x^{19} - 16 x^{18} + 25 x^{17} - 38 x^{16} + 36 x^{15} - 25 x^{14} + 18 x^{13} + \cdots - 1 \)
Invariants
Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[5, 8]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(26730926988131422081122304\) \(\medspace = 2^{18}\cdot 317^{8}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(16.25\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2^{6/7}317^{1/2}\approx 32.251902756545775$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(317\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{16\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{115197759085443}{16\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{517727222659417}{16\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{631439641891247}{16\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{737187128448617}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{24010063922944}{16\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{492799661287232}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{371685123185847}{16\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{143095731596732}{16\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{647207877155596}{16\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{225915711041451}{16\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{395040835575834}{16\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{396273240181446}{16\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{538888576067169}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{817593970203936}{16\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{748350138872427}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{199976960190025}{16\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{297442835221498}{16\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{204628594825477}{16\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{371059352421681}{16\!\cdots\!13}a+\frac{100790731293265}{16\!\cdots\!13}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $12$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{11\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{69\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{86\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{75\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!13}a-\frac{44\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!13}$, $a$, $\frac{13\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{90\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{69\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!13}a+\frac{21\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!13}$, $\frac{162137875276795}{16\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{87\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{39\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{789556207399015}{16\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!13}a-\frac{466651234362193}{16\!\cdots\!13}$, $\frac{10\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{61\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{278886856737452}{16\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!13}a-\frac{317264569496866}{16\!\cdots\!13}$, $\frac{915545639285020}{16\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{69\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!13}a-\frac{24\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!13}$, $\frac{947944419244706}{16\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{42\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{58\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!13}a-\frac{33\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!13}$, $\frac{428034583706126}{16\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{96\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{6401676902220}{16\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{252631972952054}{16\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{68\!\cdots\!76}{16\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{69\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!13}a-\frac{244294206949345}{16\!\cdots\!13}$, $\frac{21\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{96\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{85\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!13}a-\frac{30\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!13}$, $\frac{453489643708265}{16\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{61\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{90\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{81\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{762382051530225}{16\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{64\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{78\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{77\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{554009637354482}{16\!\cdots\!13}a+\frac{20\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!13}$, $\frac{16\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!76}{16\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{92\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{68\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!13}a-\frac{13\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!13}$, $\frac{12\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!20}{16\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{78\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{565242068985853}{16\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{97\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{13940126899323}{16\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!13}a-\frac{17\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!13}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 25357.2549184 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{5}\cdot(2\pi)^{8}\cdot 25357.2549184 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{26730926988131422081122304}}\cr\approx \mathstrut & 0.190613719668 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$\GL(3,2)$ (as 21T14):
A non-solvable group of order 168 |
The 6 conjugacy class representatives for $\PSL(2,7)$ |
Character table for $\PSL(2,7)$ |
Intermediate fields
7.3.6431296.2, 7.3.6431296.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 7 siblings: | 7.3.6431296.2, 7.3.6431296.1 |
Degree 8 sibling: | 8.0.646274503744.1 |
Degree 14 siblings: | 14.2.4156382630830772224.1, 14.2.4156382630830772224.2 |
Degree 24 sibling: | data not computed |
Degree 28 sibling: | data not computed |
Degree 42 siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | 7.3.6431296.1 |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/5.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/7.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/13.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{8}{,}\,{\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }^{5}$ | ${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/47.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{7}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | 2.21.18.1 | $x^{21} + 7 x^{19} + 7 x^{18} + 21 x^{17} + 42 x^{16} + 62 x^{15} + 111 x^{14} + 98 x^{13} - 189 x^{12} - 189 x^{11} + 259 x^{10} + 1496 x^{9} + 2586 x^{8} + 925 x^{7} + 798 x^{6} - 1092 x^{5} + 1029 x^{4} - 174 x^{3} - 53 x^{2} - 313 x + 131$ | $7$ | $3$ | $18$ | 21T2 | $[\ ]_{7}^{3}$ |
\(317\) | $\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{317}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ |