Normalized defining polynomial

\( x^{22} - x^{21} + 3 x^{20} + 3 x^{18} + 5 x^{17} + 7 x^{16} + 4 x^{15} + 12 x^{14} - 17 x^{13} + \cdots - 1 \) x^22 - x^21 + 3*x^20 + 3*x^18 + 5*x^17 + 7*x^16 + 4*x^15 + 12*x^14 - 17*x^13 - 35*x^11 - 28*x^10 - 29*x^9 - 20*x^8 - 6*x^7 - 11*x^6 - 26*x^5 - 22*x^4 - 11*x^3 - 4*x^2 + 9*x - 1

Invariants

Degree:		$22$	sage: K.degree()   gp: poldegree(K.pol)   magma: Degree(K);   oscar: degree(K)
Signature:		$[4, 9]$	sage: K.signature()   gp: K.sign   magma: Signature(K);   oscar: signature(K)
Discriminant:		\(-969538443288973935184255159\) -969538443288973935184255159 \(\medspace = -\,173\cdot 7043\cdot 28208540809^{2}\)	sage: K.disc()   gp: K.disc   magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);   oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:		\(16.85\)	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())   gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))   magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));   oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:		$173^{1/2}7043^{1/2}28208540809^{1/2}\approx 185392519.41428798$
Ramified primes:		\(173\), \(7043\), \(28208540809\) 173, 7043, 28208540809	sage: K.disc().support()   gp: factor(abs(K.disc))[,1]~   magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));   oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:		\(\Q(\sqrt{-1218439}) \)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$2$	sage: K.automorphisms()   magma: Automorphisms(K);   oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{83\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{91\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!11}a+\frac{19\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!11}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14, a^15, a^16, a^17, a^18, a^19, a^20, 1/828204689715717011*a^21 - 289070269254590605/828204689715717011*a^20 - 166019745221986257/828204689715717011*a^19 - 152170991881510079/828204689715717011*a^18 + 30735041949926004/828204689715717011*a^17 + 245770178671964005/828204689715717011*a^16 + 251046993100387380/828204689715717011*a^15 - 103020705440085255/828204689715717011*a^14 + 166380821876545465/828204689715717011*a^13 - 406908123388535667/828204689715717011*a^12 + 83316211157219379/828204689715717011*a^11 - 330497846319408425/828204689715717011*a^10 + 276855857755791978/828204689715717011*a^9 - 325570347416634728/828204689715717011*a^8 - 398236988782989238/828204689715717011*a^7 + 245014594335145052/828204689715717011*a^6 - 93724578219585522/828204689715717011*a^5 - 9160698337253660/828204689715717011*a^4 - 187775435186994389/828204689715717011*a^3 - 111863643463248221/828204689715717011*a^2 + 122114417229796539/828204689715717011*a + 195002868157984756/828204689715717011

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$12$	sage: UK.rank()   gp: K.fu   magma: UnitRank(K);   oscar: rank(UK)
Torsion generator:		\( -1 \) -1  (order $2$)	sage: UK.torsion_generator()   gp: K.tu[2]   magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);   oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:		$\frac{13\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!40}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{72\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!11}a-\frac{66\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{20\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{70\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!10}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!11}a+\frac{13\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{69\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{58\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!11}a+\frac{80\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{25\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{90\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{79\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{88\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!11}a+\frac{23\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{48\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{79\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!10}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!61}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a+\frac{11\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{94\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!88}{82\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{86\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{94\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a+\frac{51\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{54\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!46}{82\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{96\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!11}a+\frac{20\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{23\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{76\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{88\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{80\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{63\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!11}a+\frac{16\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{38\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!40}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!27}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!11}a+\frac{27\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{15\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{88281973666942}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!11}a+\frac{83\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{13\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!98}{82\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{68\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!10}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!11}a+\frac{13\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{29\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{74\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{74\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a-\frac{27\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}$ 13870713499334607/828204689715717011*a^21 + 20134131853593770/828204689715717011*a^20 - 35808076760056195/828204689715717011*a^19 + 154066848952081573/828204689715717011*a^18 - 39724003380072404/828204689715717011*a^17 + 120477166232464893/828204689715717011*a^16 + 282845456105939877/828204689715717011*a^15 + 137454563207770912/828204689715717011*a^14 + 48586649091835020/828204689715717011*a^13 + 348986212161026240/828204689715717011*a^12 - 729676232784706550/828204689715717011*a^11 + 160044118624890924/828204689715717011*a^10 - 1128057382492232421/828204689715717011*a^9 - 850520745540917286/828204689715717011*a^8 - 524083967464944947/828204689715717011*a^7 - 681063782790953763/828204689715717011*a^6 - 1072196783971415916/828204689715717011*a^5 - 1246974589671091708/828204689715717011*a^4 - 691215225316981025/828204689715717011*a^3 - 884014298712724002/828204689715717011*a^2 - 175197446697823006/828204689715717011*a - 662419994208176400/828204689715717011, 203196563545654002/828204689715717011*a^21 - 135215036396694155/828204689715717011*a^20 + 491082032230843649/828204689715717011*a^19 + 244273774551240996/828204689715717011*a^18 + 528481369104500173/828204689715717011*a^17 + 1099749714113226379/828204689715717011*a^16 + 1772706829302336708/828204689715717011*a^15 + 1032435370799148857/828204689715717011*a^14 + 2287615429351702230/828204689715717011*a^13 - 2569353307818060525/828204689715717011*a^12 - 1543286825878526369/828204689715717011*a^11 - 6549832906858039409/828204689715717011*a^10 - 7283785088473782324/828204689715717011*a^9 - 7042184227942710502/828204689715717011*a^8 - 4346163912393984210/828204689715717011*a^7 - 1552257280464464506/828204689715717011*a^6 - 2755380027890060205/828204689715717011*a^5 - 5655410636813052526/828204689715717011*a^4 - 6194836316837302331/828204689715717011*a^3 - 2751234668436668975/828204689715717011*a^2 - 1239510493340885244/828204689715717011*a + 1309837107217656354/828204689715717011, 69808517640434076/828204689715717011*a^21 - 35771074722518717/828204689715717011*a^20 + 182594363645991584/828204689715717011*a^19 + 104898272031037160/828204689715717011*a^18 + 230223402055498699/828204689715717011*a^17 + 450608039842611234/828204689715717011*a^16 + 721835389046607621/828204689715717011*a^15 + 583982894081375334/828204689715717011*a^14 + 1015150972071870244/828204689715717011*a^13 - 584746949896037184/828204689715717011*a^12 - 423860487841632075/828204689715717011*a^11 - 2636740025189102104/828204689715717011*a^10 - 3064688857237703231/828204689715717011*a^9 - 3274494389350386395/828204689715717011*a^8 - 2860743216713444694/828204689715717011*a^7 - 1370008477782526731/828204689715717011*a^6 - 1802675193681161273/828204689715717011*a^5 - 2428376986152414121/828204689715717011*a^4 - 2804114018112539989/828204689715717011*a^3 - 2803097658777790814/828204689715717011*a^2 - 1263229186001132629/828204689715717011*a + 801256405132690177/828204689715717011, 257792796726988611/828204689715717011*a^21 - 148053768199168083/828204689715717011*a^20 + 682374438627634964/828204689715717011*a^19 + 311841747487928454/828204689715717011*a^18 + 814775116606227893/828204689715717011*a^17 + 1635400932211344735/828204689715717011*a^16 + 2378825970181138111/828204689715717011*a^15 + 1899115807671414493/828204689715717011*a^14 + 3625212870399553471/828204689715717011*a^13 - 2996294391589301269/828204689715717011*a^12 - 1736195845016846552/828204689715717011*a^11 - 9356493342097206086/828204689715717011*a^10 - 11122528600220101550/828204689715717011*a^9 - 10878540028966098401/828204689715717011*a^8 - 9068019222943911908/828204689715717011*a^7 - 3777569067773939616/828204689715717011*a^6 - 3890632796920376212/828204689715717011*a^5 - 7900092289165341019/828204689715717011*a^4 - 8834632030438262172/828204689715717011*a^3 - 5863647518673740445/828204689715717011*a^2 - 2764187727297183796/828204689715717011*a + 2353982543841880649/828204689715717011, 48549012270540116/828204689715717011*a^21 - 20914918413911875/828204689715717011*a^20 + 165986243356521771/828204689715717011*a^19 - 5501507638690217/828204689715717011*a^18 + 291196607998493222/828204689715717011*a^17 + 307620311428711624/828204689715717011*a^16 + 452127128768914816/828204689715717011*a^15 + 627119331578189085/828204689715717011*a^14 + 793047149963240999/828204689715717011*a^13 - 692756492911466989/828204689715717011*a^12 - 89589780361082173/828204689715717011*a^11 - 2635965651314377641/828204689715717011*a^10 - 2102869922456279410/828204689715717011*a^9 - 2846127731539550048/828204689715717011*a^8 - 2546656059624073100/828204689715717011*a^7 - 433393618221663467/828204689715717011*a^6 - 649733240845381864/828204689715717011*a^5 - 1283079212475783054/828204689715717011*a^4 - 2624013749343335581/828204689715717011*a^3 - 1499230916143591961/828204689715717011*a^2 - 213482339908388526/828204689715717011*a + 1148416906099823071/828204689715717011, 94991264414489067/828204689715717011*a^21 - 100899273990929471/828204689715717011*a^20 + 344787875236631588/828204689715717011*a^19 - 86716658543637316/828204689715717011*a^18 + 444331082379535997/828204689715717011*a^17 + 425428555414193855/828204689715717011*a^16 + 785754240525064634/828204689715717011*a^15 + 490331399098058520/828204689715717011*a^14 + 1489104787283812485/828204689715717011*a^13 - 1686931797576150095/828204689715717011*a^12 + 569004776184236059/828204689715717011*a^11 - 4350635012707057115/828204689715717011*a^10 - 2220447835939142217/828204689715717011*a^9 - 4344859774354005453/828204689715717011*a^8 - 2250051833814540351/828204689715717011*a^7 - 1692782351312190490/828204689715717011*a^6 - 941815889905204983/828204689715717011*a^5 - 3060802796410024711/828204689715717011*a^4 - 2669478679460576597/828204689715717011*a^3 - 2634013018421735213/828204689715717011*a^2 - 1382433877967359855/828204689715717011*a + 517398317716614029/828204689715717011, 54495020263930822/828204689715717011*a^21 - 129888548849243068/828204689715717011*a^20 + 266878190171970599/828204689715717011*a^19 - 299617220713104406/828204689715717011*a^18 + 248921652475773983/828204689715717011*a^17 - 6035386563630863/828204689715717011*a^16 - 60086157876013178/828204689715717011*a^15 - 251112555703701126/828204689715717011*a^14 + 308094698588445104/828204689715717011*a^13 - 2203572545944319526/828204689715717011*a^12 + 1312208542189215336/828204689715717011*a^11 - 2657305668118173426/828204689715717011*a^10 + 1484968410377243356/828204689715717011*a^9 + 593421349570982046/828204689715717011*a^8 + 1709350253434895268/828204689715717011*a^7 + 2499430993632873347/828204689715717011*a^6 + 966945875414846786/828204689715717011*a^5 - 206374247734775791/828204689715717011*a^4 + 117599644604450330/828204689715717011*a^3 + 679078027359516349/828204689715717011*a^2 + 1126639297266200830/828204689715717011*a + 2073612512636733905/828204689715717011, 236374769471393697/828204689715717011*a^21 - 188986689635075985/828204689715717011*a^20 + 681918859553749385/828204689715717011*a^19 + 112970356140033890/828204689715717011*a^18 + 765788642241144182/828204689715717011*a^17 + 1301850827517689379/828204689715717011*a^16 + 1929639506729403843/828204689715717011*a^15 + 1347852195355015252/828204689715717011*a^14 + 3071744558562341902/828204689715717011*a^13 - 3475836202398454296/828204689715717011*a^12 - 663788372730723114/828204689715717011*a^11 - 8835754281674166550/828204689715717011*a^10 - 8072933727073046963/828204689715717011*a^9 - 8600977435013933416/828204689715717011*a^8 - 6256338713775860445/828204689715717011*a^7 - 2218702415527703008/828204689715717011*a^6 - 2652425749480410612/828204689715717011*a^5 - 6342859729442664866/828204689715717011*a^4 - 5994530679089350366/828204689715717011*a^3 - 4246294454166017705/828204689715717011*a^2 - 1694115503756802085/828204689715717011*a + 1624716876791619812/828204689715717011, 384163729033804167/828204689715717011*a^21 - 306909615565957404/828204689715717011*a^20 + 1046766023136206428/828204689715717011*a^19 + 270068617972218572/828204689715717011*a^18 + 1097864374098103118/828204689715717011*a^17 + 2136917803514515413/828204689715717011*a^16 + 3084154541093712157/828204689715717011*a^15 + 2008179164472746371/828204689715717011*a^14 + 4798337812464932055/828204689715717011*a^13 - 5456084458116108592/828204689715717011*a^12 - 1349267604157473908/828204689715717011*a^11 - 12814824365876340234/828204689715717011*a^10 - 13305382659396640531/828204689715717011*a^9 - 12867677293104838442/828204689715717011*a^8 - 9550142177470709340/828204689715717011*a^7 - 4163609302893749573/828204689715717011*a^6 - 5496605755070920520/828204689715717011*a^5 - 10983650082628139257/828204689715717011*a^4 - 10241171637217791578/828204689715717011*a^3 - 5504649940324060727/828204689715717011*a^2 - 2584480321121127991/828204689715717011*a + 2760500485586208841/828204689715717011, 155003052502005017/828204689715717011*a^21 - 158045997836506405/828204689715717011*a^20 + 469990829897033769/828204689715717011*a^19 + 88281973666942/828204689715717011*a^18 + 533049701345011494/828204689715717011*a^17 + 664597171303353545/828204689715717011*a^16 + 1341947249035008915/828204689715717011*a^15 + 548223398601858684/828204689715717011*a^14 + 2036635424541806459/828204689715717011*a^13 - 2290425476451525434/828204689715717011*a^12 + 429004618450987490/828204689715717011*a^11 - 5466436435486314900/828204689715717011*a^10 - 3664486287402941582/828204689715717011*a^9 - 5809574324222456048/828204689715717011*a^8 - 2651295639979285544/828204689715717011*a^7 - 3256773275423217382/828204689715717011*a^6 - 2777712557378941017/828204689715717011*a^5 - 5076652200566671854/828204689715717011*a^4 - 4210432046751264373/828204689715717011*a^3 - 1993801412466479684/828204689715717011*a^2 - 2683583109279488762/828204689715717011*a + 831861649704266400/828204689715717011, 137677133492944517/828204689715717011*a^21 - 163286854343273996/828204689715717011*a^20 + 438584968981046998/828204689715717011*a^19 - 52003006867708695/828204689715717011*a^18 + 347155409889645986/828204689715717011*a^17 + 751515531492004904/828204689715717011*a^16 + 688291705037916971/828204689715717011*a^15 + 499079681667125445/828204689715717011*a^14 + 1574147645872196449/828204689715717011*a^13 - 2636607209938304962/828204689715717011*a^12 + 325834056304859456/828204689715717011*a^11 - 4487244305095126828/828204689715717011*a^10 - 3862156248088010248/828204689715717011*a^9 - 2442855544616947007/828204689715717011*a^8 - 3164031608032468822/828204689715717011*a^7 + 346088306078784671/828204689715717011*a^6 - 1769147873132581068/828204689715717011*a^5 - 2918151094101273365/828204689715717011*a^4 - 2268091855016807010/828204689715717011*a^3 - 1552072120818861515/828204689715717011*a^2 - 117190294192549079/828204689715717011*a + 1311589940206339902/828204689715717011, 29465155808170116/828204689715717011*a^21 - 7459067350072365/828204689715717011*a^20 + 128099082612086830/828204689715717011*a^19 + 45245296888272450/828204689715717011*a^18 + 182930459758085519/828204689715717011*a^17 + 412422756328640781/828204689715717011*a^16 + 337696694875302432/828204689715717011*a^15 + 743474902922667280/828204689715717011*a^14 + 1010030607508937590/828204689715717011*a^13 + 38020646121501554/828204689715717011*a^12 + 362783190153046431/828204689715717011*a^11 - 1519877606484066293/828204689715717011*a^10 - 2921737983577231836/828204689715717011*a^9 - 2506705251595848117/828204689715717011*a^8 - 4469180327337451708/828204689715717011*a^7 - 2502977131116287626/828204689715717011*a^6 - 1951396390639709078/828204689715717011*a^5 - 1475953675036098659/828204689715717011*a^4 - 2087927263452160286/828204689715717011*a^3 - 3166709955304765863/828204689715717011*a^2 - 2170322531258034955/828204689715717011*a - 270909585967557405/828204689715717011 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units()   gp: K.fu   magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];   oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:		\( 42357.726741 \) (assuming GRH)	sage: K.regulator()   gp: K.reg   magma: Regulator(K);   oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{4}\cdot(2\pi)^{9}\cdot 42357.726741 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{969538443288973935184255159}}\cr\approx \mathstrut & 0.16609590661 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_2^{10}.(C_2\times S_{11})$ (as 22T53):

Intermediate fields

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Frobenius cycle types

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(173\) 173	173.2.1.2	$x^{2} + 346$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	173.10.0.1	$x^{10} + x^{6} + 156 x^{5} + 164 x^{4} + 48 x^{3} + 106 x^{2} + 58 x + 2$	$1$	$10$	$0$	$C_{10}$	$[\ ]^{10}$
	173.10.0.1	$x^{10} + x^{6} + 156 x^{5} + 164 x^{4} + 48 x^{3} + 106 x^{2} + 58 x + 2$	$1$	$10$	$0$	$C_{10}$	$[\ ]^{10}$
\(7043\) 7043	$\Q_{7043}$	$x$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	$\Q_{7043}$	$x$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
		Deg $2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
		Deg $2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $7$	$1$	$7$	$0$	$C_7$	$[\ ]^{7}$
		Deg $7$	$1$	$7$	$0$	$C_7$	$[\ ]^{7}$
\(28208540809\) 28208540809	$\Q_{28208540809}$	$x$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	$\Q_{28208540809}$	$x$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $3$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
		Deg $3$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
		Deg $10$	$1$	$10$	$0$	$C_{10}$	$[\ ]^{10}$