Normalized defining polynomial

\( x^{30} - x^{29} - 7 x^{28} + 10 x^{27} + 7 x^{26} - 19 x^{25} + 56 x^{24} - 38 x^{23} - 238 x^{22} + \cdots + 243 \) x^30 - x^29 - 7*x^28 + 10*x^27 + 7*x^26 - 19*x^25 + 56*x^24 - 38*x^23 - 238*x^22 + 196*x^21 + 1084*x^20 + 255*x^19 - 3219*x^18 - 4472*x^17 + 2252*x^16 + 12483*x^15 + 13641*x^14 + 1966*x^13 - 11281*x^12 - 13340*x^11 - 5077*x^10 + 3378*x^9 + 6156*x^8 + 4833*x^7 + 3411*x^6 + 3672*x^5 + 4671*x^4 + 4536*x^3 + 2997*x^2 + 1215*x + 243

Invariants

Degree:		$30$	sage: K.degree()   gp: poldegree(K.pol)   magma: Degree(K);   oscar: degree(K)
Signature:		$[0, 15]$	sage: K.signature()   gp: K.sign   magma: Signature(K);   oscar: signature(K)
Discriminant:		\(-218673142739125286650364496602923076372571\) -218673142739125286650364496602923076372571 \(\medspace = -\,3^{10}\cdot 7^{10}\cdot 11^{27}\)	sage: K.disc()   gp: K.disc   magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);   oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:		\(23.88\)	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())   gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))   magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));   oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:		$3^{1/2}7^{1/2}11^{9/10}\approx 39.66094555677728$
Ramified primes:		\(3\), \(7\), \(11\) 3, 7, 11	sage: K.disc().support()   gp: factor(abs(K.disc))[,1]~   magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));   oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:		\(\Q(\sqrt{-11}) \)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$10$	sage: K.automorphisms()   magma: Automorphisms(K);   oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $\frac{1}{3}a^{22}-\frac{1}{3}a^{21}-\frac{1}{3}a^{20}+\frac{1}{3}a^{19}+\frac{1}{3}a^{18}-\frac{1}{3}a^{17}-\frac{1}{3}a^{16}+\frac{1}{3}a^{15}-\frac{1}{3}a^{14}+\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{3}a^{23}+\frac{1}{3}a^{21}-\frac{1}{3}a^{19}+\frac{1}{3}a^{17}-\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{9}a^{24}-\frac{1}{9}a^{23}-\frac{1}{9}a^{22}+\frac{4}{9}a^{21}+\frac{1}{9}a^{20}-\frac{4}{9}a^{19}-\frac{1}{9}a^{18}+\frac{1}{9}a^{17}-\frac{1}{9}a^{16}+\frac{4}{9}a^{15}-\frac{2}{9}a^{14}+\frac{1}{9}a^{11}+\frac{2}{9}a^{10}-\frac{1}{3}a^{9}+\frac{4}{9}a^{7}-\frac{4}{9}a^{6}+\frac{4}{9}a^{5}+\frac{2}{9}a^{4}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{9}a^{25}+\frac{1}{9}a^{23}+\frac{2}{9}a^{21}-\frac{2}{9}a^{19}-\frac{1}{3}a^{18}-\frac{1}{3}a^{17}-\frac{1}{3}a^{16}-\frac{1}{9}a^{15}+\frac{1}{9}a^{14}+\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{9}a^{12}+\frac{1}{3}a^{11}+\frac{2}{9}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}+\frac{4}{9}a^{8}+\frac{1}{3}a^{6}+\frac{1}{3}a^{5}-\frac{4}{9}a^{4}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{27}a^{26}-\frac{1}{27}a^{25}-\frac{1}{27}a^{24}+\frac{4}{27}a^{23}+\frac{1}{27}a^{22}+\frac{5}{27}a^{21}+\frac{8}{27}a^{20}-\frac{8}{27}a^{19}-\frac{1}{27}a^{18}+\frac{13}{27}a^{17}-\frac{2}{27}a^{16}+\frac{1}{3}a^{15}+\frac{1}{3}a^{14}+\frac{10}{27}a^{13}+\frac{11}{27}a^{12}-\frac{4}{9}a^{11}-\frac{1}{3}a^{10}+\frac{4}{27}a^{9}+\frac{5}{27}a^{8}-\frac{5}{27}a^{7}+\frac{2}{27}a^{6}+\frac{4}{9}a^{4}$, $\frac{1}{16118811}a^{27}-\frac{175403}{16118811}a^{26}-\frac{218239}{5372937}a^{25}-\frac{519343}{16118811}a^{24}+\frac{550706}{5372937}a^{23}-\frac{2171594}{16118811}a^{22}-\frac{2681012}{5372937}a^{21}-\frac{1741096}{16118811}a^{20}-\frac{1864496}{16118811}a^{19}+\frac{6992216}{16118811}a^{18}+\frac{250573}{1790979}a^{17}-\frac{4271440}{16118811}a^{16}+\frac{675887}{1790979}a^{15}-\frac{6204290}{16118811}a^{14}+\frac{6597991}{16118811}a^{13}+\frac{3996766}{16118811}a^{12}+\frac{440647}{1790979}a^{11}-\frac{2066660}{16118811}a^{10}-\frac{5198174}{16118811}a^{9}+\frac{1452506}{16118811}a^{8}+\frac{6909142}{16118811}a^{7}+\frac{1708003}{16118811}a^{6}-\frac{535498}{1790979}a^{5}-\frac{1955864}{5372937}a^{4}-\frac{203687}{1790979}a^{3}-\frac{589217}{1790979}a^{2}-\frac{5286}{596993}a+\frac{11975}{596993}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{16\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{72\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{84\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{52\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!74}{14\!\cdots\!87}a^{7}-\frac{73\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!96}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!25}{49\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!43}a+\frac{45\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!83}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{98\!\cdots\!76}{49\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{73\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!61}a^{22}+\frac{34\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!61}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!23}{44\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{59\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{89\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!56}{14\!\cdots\!87}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!13}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!43}a-\frac{42\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!43}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14, a^15, a^16, a^17, a^18, a^19, a^20, a^21, 1/3*a^22 - 1/3*a^21 - 1/3*a^20 + 1/3*a^19 + 1/3*a^18 - 1/3*a^17 - 1/3*a^16 + 1/3*a^15 - 1/3*a^14 + 1/3*a^13 + 1/3*a^12 + 1/3*a^9 - 1/3*a^8 + 1/3*a^5 - 1/3*a^4 + 1/3*a^3 - 1/3*a^2, 1/3*a^23 + 1/3*a^21 - 1/3*a^19 + 1/3*a^17 - 1/3*a^13 + 1/3*a^12 + 1/3*a^10 - 1/3*a^8 + 1/3*a^6 - 1/3*a^2, 1/9*a^24 - 1/9*a^23 - 1/9*a^22 + 4/9*a^21 + 1/9*a^20 - 4/9*a^19 - 1/9*a^18 + 1/9*a^17 - 1/9*a^16 + 4/9*a^15 - 2/9*a^14 + 1/9*a^11 + 2/9*a^10 - 1/3*a^9 + 4/9*a^7 - 4/9*a^6 + 4/9*a^5 + 2/9*a^4 + 1/3*a^2, 1/9*a^25 + 1/9*a^23 + 2/9*a^21 - 2/9*a^19 - 1/3*a^18 - 1/3*a^17 - 1/3*a^16 - 1/9*a^15 + 1/9*a^14 + 1/3*a^13 + 1/9*a^12 + 1/3*a^11 + 2/9*a^10 + 1/3*a^9 + 4/9*a^8 + 1/3*a^6 + 1/3*a^5 - 4/9*a^4 + 1/3*a^2, 1/27*a^26 - 1/27*a^25 - 1/27*a^24 + 4/27*a^23 + 1/27*a^22 + 5/27*a^21 + 8/27*a^20 - 8/27*a^19 - 1/27*a^18 + 13/27*a^17 - 2/27*a^16 + 1/3*a^15 + 1/3*a^14 + 10/27*a^13 + 11/27*a^12 - 4/9*a^11 - 1/3*a^10 + 4/27*a^9 + 5/27*a^8 - 5/27*a^7 + 2/27*a^6 + 4/9*a^4, 1/16118811*a^27 - 175403/16118811*a^26 - 218239/5372937*a^25 - 519343/16118811*a^24 + 550706/5372937*a^23 - 2171594/16118811*a^22 - 2681012/5372937*a^21 - 1741096/16118811*a^20 - 1864496/16118811*a^19 + 6992216/16118811*a^18 + 250573/1790979*a^17 - 4271440/16118811*a^16 + 675887/1790979*a^15 - 6204290/16118811*a^14 + 6597991/16118811*a^13 + 3996766/16118811*a^12 + 440647/1790979*a^11 - 2066660/16118811*a^10 - 5198174/16118811*a^9 + 1452506/16118811*a^8 + 6909142/16118811*a^7 + 1708003/16118811*a^6 - 535498/1790979*a^5 - 1955864/5372937*a^4 - 203687/1790979*a^3 - 589217/1790979*a^2 - 5286/596993*a + 11975/596993, 1/1333518366271850477416683*a^28 + 10977046988423792/1333518366271850477416683*a^27 + 16309318526368448113565/1333518366271850477416683*a^26 - 19908387478860157598174/1333518366271850477416683*a^25 - 72357581942627208779798/1333518366271850477416683*a^24 - 84853911085445036528983/1333518366271850477416683*a^23 + 172667324619154738850228/1333518366271850477416683*a^22 + 386013291403372209402091/1333518366271850477416683*a^21 - 632894806546798574807569/1333518366271850477416683*a^20 + 176942586394782718352518/1333518366271850477416683*a^19 - 642524618350511710500287/1333518366271850477416683*a^18 - 185621089848261291058085/444506122090616825805561*a^17 + 136919766368507892523766/444506122090616825805561*a^16 + 357239689204906294399612/1333518366271850477416683*a^15 - 432222795977897830555441/1333518366271850477416683*a^14 + 113454723600494365222133/444506122090616825805561*a^13 + 70969151963881104568135/444506122090616825805561*a^12 - 52020236019806855530295/1333518366271850477416683*a^11 - 5451411102505778553064/1333518366271850477416683*a^10 - 465000351090244064007116/1333518366271850477416683*a^9 - 624499941357410486426332/1333518366271850477416683*a^8 - 18518884131376722321074/148168707363538941935187*a^7 - 73119468936340559216104/444506122090616825805561*a^6 - 4456741546280316292514/16463189707059882437243*a^5 + 22813190751193174067096/148168707363538941935187*a^4 + 2640504131038370496125/49389569121179647311729*a^3 - 5088190024893386561783/49389569121179647311729*a^2 - 4309558803614081968073/16463189707059882437243*a + 458138978976263008360/16463189707059882437243, 1/1333518366271850477416683*a^29 - 12444758502189401/1333518366271850477416683*a^27 - 2218761977979068313146/148168707363538941935187*a^26 + 60775728820146114223049/1333518366271850477416683*a^25 + 987285122501941335676/49389569121179647311729*a^24 - 170672407578492158952593/1333518366271850477416683*a^23 + 73919302866596826534125/444506122090616825805561*a^22 + 34935396063055151624452/444506122090616825805561*a^21 + 18660079588158131316023/444506122090616825805561*a^20 - 86228114004983172078415/1333518366271850477416683*a^19 + 590341409444573689033891/1333518366271850477416683*a^18 - 185985905414224771137349/444506122090616825805561*a^17 - 511833211750613682425729/1333518366271850477416683*a^16 + 189154150978511306033815/444506122090616825805561*a^15 - 205874286892989675314977/1333518366271850477416683*a^14 + 155516539903186604475244/444506122090616825805561*a^13 - 89842465140936175565948/1333518366271850477416683*a^12 + 46386620640676287921239/148168707363538941935187*a^11 - 44957085751331710666931/148168707363538941935187*a^10 + 75211017231453293935798/444506122090616825805561*a^9 - 264546298717554619631326/1333518366271850477416683*a^8 + 37719157853539427239756/148168707363538941935187*a^7 - 104251017533585648580313/444506122090616825805561*a^6 + 1813881169196508772761/16463189707059882437243*a^5 + 22454549488422209773237/148168707363538941935187*a^4 + 6085639160847094091213/49389569121179647311729*a^3 + 7073550056467715781296/16463189707059882437243*a^2 - 383593736138215441566/16463189707059882437243*a - 4235109983577811421314/16463189707059882437243

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$14$	sage: UK.rank()   gp: K.fu   magma: UnitRank(K);   oscar: rank(UK)
Torsion generator:		\( \frac{14985944126668949796770}{444506122090616825805561} a^{29} - \frac{57916689768438880663813}{1333518366271850477416683} a^{28} - \frac{310995119440734449425775}{1333518366271850477416683} a^{27} + \frac{570759361142080836846808}{1333518366271850477416683} a^{26} + \frac{205542305643285951787943}{1333518366271850477416683} a^{25} - \frac{1145929077705595095381430}{1333518366271850477416683} a^{24} + \frac{3048528716784902297297278}{1333518366271850477416683} a^{23} - \frac{2451991912176888140242832}{1333518366271850477416683} a^{22} - \frac{11063715601165292668878010}{1333518366271850477416683} a^{21} + \frac{13911367511948149567990186}{1333518366271850477416683} a^{20} + \frac{45894595032825835522510586}{1333518366271850477416683} a^{19} - \frac{7409899204825608944141599}{1333518366271850477416683} a^{18} - \frac{49827236241543549134194300}{444506122090616825805561} a^{17} - \frac{49021381004627799702597941}{444506122090616825805561} a^{16} + \frac{174808008743312504409384794}{1333518366271850477416683} a^{15} + \frac{515661522125556506978389783}{1333518366271850477416683} a^{14} + \frac{15018328043639418064459739}{49389569121179647311729} a^{13} - \frac{11975206705689880210213799}{148168707363538941935187} a^{12} - \frac{494137991370875464772033209}{1333518366271850477416683} a^{11} - \frac{400469526139081526844869225}{1333518366271850477416683} a^{10} - \frac{41400014075348365025775271}{1333518366271850477416683} a^{9} + \frac{186951589892709425110358449}{1333518366271850477416683} a^{8} + \frac{68122579637294031654713024}{444506122090616825805561} a^{7} + \frac{14557323152659319920512899}{148168707363538941935187} a^{6} + \frac{10475848704164554417644293}{148168707363538941935187} a^{5} + \frac{13955815672782903681447167}{148168707363538941935187} a^{4} + \frac{1959045578039528792102941}{16463189707059882437243} a^{3} + \frac{5088934067583265898729254}{49389569121179647311729} a^{2} + \frac{911351614229557878857748}{16463189707059882437243} a + \frac{251388423805714886048849}{16463189707059882437243} \) (14985944126668949796770)/(444506122090616825805561)*a^(29) - (57916689768438880663813)/(1333518366271850477416683)*a^(28) - (310995119440734449425775)/(1333518366271850477416683)*a^(27) + (570759361142080836846808)/(1333518366271850477416683)*a^(26) + (205542305643285951787943)/(1333518366271850477416683)*a^(25) - (1145929077705595095381430)/(1333518366271850477416683)*a^(24) + (3048528716784902297297278)/(1333518366271850477416683)*a^(23) - (2451991912176888140242832)/(1333518366271850477416683)*a^(22) - (11063715601165292668878010)/(1333518366271850477416683)*a^(21) + (13911367511948149567990186)/(1333518366271850477416683)*a^(20) + (45894595032825835522510586)/(1333518366271850477416683)*a^(19) - (7409899204825608944141599)/(1333518366271850477416683)*a^(18) - (49827236241543549134194300)/(444506122090616825805561)*a^(17) - (49021381004627799702597941)/(444506122090616825805561)*a^(16) + (174808008743312504409384794)/(1333518366271850477416683)*a^(15) + (515661522125556506978389783)/(1333518366271850477416683)*a^(14) + (15018328043639418064459739)/(49389569121179647311729)*a^(13) - (11975206705689880210213799)/(148168707363538941935187)*a^(12) - (494137991370875464772033209)/(1333518366271850477416683)*a^(11) - (400469526139081526844869225)/(1333518366271850477416683)*a^(10) - (41400014075348365025775271)/(1333518366271850477416683)*a^(9) + (186951589892709425110358449)/(1333518366271850477416683)*a^(8) + (68122579637294031654713024)/(444506122090616825805561)*a^(7) + (14557323152659319920512899)/(148168707363538941935187)*a^(6) + (10475848704164554417644293)/(148168707363538941935187)*a^(5) + (13955815672782903681447167)/(148168707363538941935187)*a^(4) + (1959045578039528792102941)/(16463189707059882437243)*a^(3) + (5088934067583265898729254)/(49389569121179647311729)*a^(2) + (911351614229557878857748)/(16463189707059882437243)*a + (251388423805714886048849)/(16463189707059882437243)  (order $22$)	sage: UK.torsion_generator()   gp: K.tu[2]   magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);   oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:		$\frac{72\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{30\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!61}a^{28}-\frac{65\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!61}a^{27}+\frac{64\!\cdots\!97}{44\!\cdots\!61}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!44}{49\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!61}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{67\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!52}{49\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{95\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{89\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!03}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!31}{49\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!43}a+\frac{15\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{60\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!04}{14\!\cdots\!87}a^{28}-\frac{27\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!78}{14\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{75\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!32}{49\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!61}a^{21}+\frac{82\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{90\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!05}{49\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!61}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!47}{49\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!09}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!39}{49\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!43}a+\frac{33\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{21\!\cdots\!68}{49\!\cdots\!29}a^{29}-\frac{32\!\cdots\!09}{44\!\cdots\!61}a^{28}-\frac{11\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!61}a^{27}+\frac{92\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{63\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!97}{44\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!76}{40\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{67\!\cdots\!74}{44\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!94}{44\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!61}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{73\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{62\!\cdots\!06}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!42}{49\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!43}a+\frac{15\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{30\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!61}a^{28}-\frac{22\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{39\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{96\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!61}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!01}{49\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{91\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!81}{44\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!87}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!16}{49\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!09}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!65}{49\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{62\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!43}a+\frac{16\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{78\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{47\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{54\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{63\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{69\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!70}{44\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!97}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{76\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!18}{14\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{71\!\cdots\!39}{49\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!43}a+\frac{27\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{88\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!87}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{53\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{79\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{87\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{80\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{89\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{83\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{86\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!24}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{98\!\cdots\!16}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!59}{49\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!43}a+\frac{32\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{26\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!61}a^{28}-\frac{18\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!61}a^{26}+\frac{93\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!20}{14\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!61}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{81\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{72\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!36}{49\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!42}{44\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{92\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!61}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!91}{49\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{85\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!82}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!43}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!43}a+\frac{91\!\cdots\!20}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{13\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{76\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{22\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{62\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{75\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{69\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{59\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!34}{49\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!55}{49\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!00}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{86\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!43}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!43}a+\frac{31\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{37\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{11\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!61}a^{27}+\frac{33\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!91}{44\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{58\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!94}{49\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{59\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{50\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{58\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{80\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{81\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!94}{49\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!04}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{68\!\cdots\!92}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!43}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!43}a+\frac{34\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{17\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{63\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{27\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{30\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{58\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{69\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{63\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{66\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!27}{49\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{76\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{77\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{72\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!87}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!60}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!68}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{93\!\cdots\!11}{49\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!43}a+\frac{24\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{21\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{17\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{24\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{69\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!43}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{60\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!05}{49\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{81\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!51}{49\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!43}a-\frac{16\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{26\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{41\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{55\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!61}a^{27}+\frac{37\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{53\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{63\!\cdots\!46}{44\!\cdots\!61}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{89\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{81\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{86\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!99}{49\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{81\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!88}{49\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!16}{49\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!15}{14\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{74\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!43}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!43}a+\frac{10\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{27\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!83}a^{29}+\frac{20\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!61}a^{27}-\frac{68\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!43}{44\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{96\!\cdots\!77}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{60\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{49\!\cdots\!20}{14\!\cdots\!87}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!56}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!32}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!41}{49\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!43}a+\frac{12\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!43}$, $\frac{37\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{17\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!61}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{56\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!38}{49\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!46}{44\!\cdots\!61}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!94}{44\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!47}{44\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!61}{49\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{77\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!28}{14\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{45\!\cdots\!04}{49\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!44}{49\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!43}a+\frac{15\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!43}$ 7243402386261325911767/444506122090616825805561*a^29 - 3055767930683541860269/444506122090616825805561*a^28 - 65580809100344692593326/444506122090616825805561*a^27 + 64267828473379444823897/444506122090616825805561*a^26 + 16803319032460432893344/49389569121179647311729*a^25 - 282481261348181818573148/444506122090616825805561*a^24 + 133082003938768777938098/148168707363538941935187*a^23 + 167707670375801370117518/444506122090616825805561*a^22 - 2731515214207466739532732/444506122090616825805561*a^21 + 529067987209222275569866/148168707363538941935187*a^20 + 10431284906982686673477337/444506122090616825805561*a^19 + 675120869092600222952873/148168707363538941935187*a^18 - 3353151990393779110954052/49389569121179647311729*a^17 - 38976618900876285612162641/444506122090616825805561*a^16 + 28341101204385671717367482/444506122090616825805561*a^15 + 38025843117213048408650459/148168707363538941935187*a^14 + 100578283751837038416040933/444506122090616825805561*a^13 - 5435319637608334418827486/148168707363538941935187*a^12 - 111001861973316571870156816/444506122090616825805561*a^11 - 95089993982532957348237676/444506122090616825805561*a^10 - 3652573345537114924774162/148168707363538941935187*a^9 + 42052067768689898869294180/444506122090616825805561*a^8 + 18217048168902029187233/182100009049822542321*a^7 + 28888466496410701930748488/444506122090616825805561*a^6 + 6395207859186121573922722/148168707363538941935187*a^5 + 8954866062200859536877767/148168707363538941935187*a^4 + 3864488461172979040976603/49389569121179647311729*a^3 + 3440377604985321036126031/49389569121179647311729*a^2 + 601317422176056882541591/16463189707059882437243*a + 150957558345568027334582/16463189707059882437243, 60008588789408097230431/1333518366271850477416683*a^29 - 15139786830667288490404/148168707363538941935187*a^28 - 278767424058443786369888/1333518366271850477416683*a^27 + 114590362027285931990078/148168707363538941935187*a^26 - 754876646088871356487699/1333518366271850477416683*a^25 - 27583566987241759402432/49389569121179647311729*a^24 + 4790632091620176111278149/1333518366271850477416683*a^23 - 2686432710744931720253758/444506122090616825805561*a^22 - 2198235195604237741292545/444506122090616825805561*a^21 + 8251035071729608794914168/444506122090616825805561*a^20 + 36393882111197436383749988/1333518366271850477416683*a^19 - 44322035786459356078262987/1333518366271850477416683*a^18 - 51444872235580184033584280/444506122090616825805561*a^17 - 46263312182244511551688685/1333518366271850477416683*a^16 + 90516276889848020274693898/444506122090616825805561*a^15 + 417978642539403207739619048/1333518366271850477416683*a^14 + 47500225535179487141292769/444506122090616825805561*a^13 - 263371852685321373030931535/1333518366271850477416683*a^12 - 14476142894055322614699305/49389569121179647311729*a^11 - 53435991956245365538433627/444506122090616825805561*a^10 + 27684217309683252381305584/444506122090616825805561*a^9 + 155700395238210393734733947/1333518366271850477416683*a^8 + 1494656157912328948957518/16463189707059882437243*a^7 + 20957252684003676112385554/444506122090616825805561*a^6 + 8099987902396976692406269/148168707363538941935187*a^5 + 3745703350803973052507747/49389569121179647311729*a^4 + 4288111051750317723746509/49389569121179647311729*a^3 + 2732949217740436597930739/49389569121179647311729*a^2 + 369226435555320449720140/16463189707059882437243*a + 33394852917452962390174/16463189707059882437243, 2153591506089614388068/49389569121179647311729*a^29 - 32923120448671174334009/444506122090616825805561*a^28 - 114187693405981112412727/444506122090616825805561*a^27 + 92030386352840658642713/148168707363538941935187*a^26 - 16398622625408877074114/148168707363538941935187*a^25 - 116949692179556399196469/148168707363538941935187*a^24 + 444200853476105487799777/148168707363538941935187*a^23 - 554140682350109511005258/148168707363538941935187*a^22 - 1168562286419585569568051/148168707363538941935187*a^21 + 6338668984852865141612908/444506122090616825805561*a^20 + 16784033375813018969264297/444506122090616825805561*a^19 - 2326647206214173411007751/148168707363538941935187*a^18 - 59075193421938772679825441/444506122090616825805561*a^17 - 45344395086490863632532968/444506122090616825805561*a^16 + 80142211244548963439730916/444506122090616825805561*a^15 + 1752949691456739083901176/4078037817345108493629*a^14 + 125472906659915010122106007/444506122090616825805561*a^13 - 67414233374218216424559574/444506122090616825805561*a^12 - 185210151132832556804940194/444506122090616825805561*a^11 - 123352119817411336597697854/444506122090616825805561*a^10 + 6533001130774261001266790/444506122090616825805561*a^9 + 73215091351728844840568188/444506122090616825805561*a^8 + 66972154716635604793460551/444506122090616825805561*a^7 + 38868943030156780251191627/444506122090616825805561*a^6 + 11008355133260709440852821/148168707363538941935187*a^5 + 14961748719758279036929832/148168707363538941935187*a^4 + 6269042384554569504086306/49389569121179647311729*a^3 + 5038808633240509209315742/49389569121179647311729*a^2 + 797999053476468158185711/16463189707059882437243*a + 150704568638972235847335/16463189707059882437243, 30720610715112810544582/1333518366271850477416683*a^29 - 10877398835555122583083/444506122090616825805561*a^28 - 229010746990895333980739/1333518366271850477416683*a^27 + 39220069495599097039721/148168707363538941935187*a^26 + 283562259380381214142694/1333518366271850477416683*a^25 - 96206099906730976313806/148168707363538941935187*a^24 + 1864319306647680584950726/1333518366271850477416683*a^23 - 307356622836431922527764/444506122090616825805561*a^22 - 2841887314394203737956039/444506122090616825805561*a^21 + 2722543339256983990292179/444506122090616825805561*a^20 + 35723964828458469652564232/1333518366271850477416683*a^19 - 1153428781467526026803090/1333518366271850477416683*a^18 - 37155119316775629362875130/444506122090616825805561*a^17 - 118576842189516838787968157/1333518366271850477416683*a^16 + 4611957520782240949837901/49389569121179647311729*a^15 + 394478680523461595277738527/1333518366271850477416683*a^14 + 34586871097765146280947877/148168707363538941935187*a^13 - 91372072337488836715525649/1333518366271850477416683*a^12 - 127299372071872639048206481/444506122090616825805561*a^11 - 98407314541342390760846339/444506122090616825805561*a^10 - 5440390588647071387820604/444506122090616825805561*a^9 + 144932893393479470735070845/1333518366271850477416683*a^8 + 48037405470874256562461564/444506122090616825805561*a^7 + 10223220277475132693447116/148168707363538941935187*a^6 + 2568354801262011152764816/49389569121179647311729*a^5 + 10324445593845406306379206/148168707363538941935187*a^4 + 4355079565818866488851809/49389569121179647311729*a^3 + 3717621561157737580432165/49389569121179647311729*a^2 + 621529630497941782527810/16463189707059882437243*a + 160684615589828558124978/16463189707059882437243, 78851597868835370650004/1333518366271850477416683*a^29 - 129068952467125579009565/1333518366271850477416683*a^28 - 476822385356998603800101/1333518366271850477416683*a^27 + 1106316060843641809367714/1333518366271850477416683*a^26 - 115104920593597105704622/1333518366271850477416683*a^25 - 1539278263826383063892873/1333518366271850477416683*a^24 + 5453926537143650621124220/1333518366271850477416683*a^23 - 6350583824624235797129044/1333518366271850477416683*a^22 - 15288918811580333325257864/1333518366271850477416683*a^21 + 26022877022124564201241622/1333518366271850477416683*a^20 + 69948179615529661625819309/1333518366271850477416683*a^19 - 9097319186885485946698270/444506122090616825805561*a^18 - 80430519923021657858678297/444506122090616825805561*a^17 - 194835620798133859634867596/1333518366271850477416683*a^16 + 320923307744409771933864652/1333518366271850477416683*a^15 + 263358288197705108982236059/444506122090616825805561*a^14 + 180738971294521122687548002/444506122090616825805561*a^13 - 247643891795068858434536578/1333518366271850477416683*a^12 - 761726974634207101190691542/1333518366271850477416683*a^11 - 540295921098541398786971398/1333518366271850477416683*a^10 - 1524626680179434352163151/1333518366271850477416683*a^9 + 99069226749913658179786151/444506122090616825805561*a^8 + 32259655556735681116926418/148168707363538941935187*a^7 + 59069772494747180545622615/444506122090616825805561*a^6 + 15463612969568038421933177/148168707363538941935187*a^5 + 21069526897287943992772909/148168707363538941935187*a^4 + 2899389079409843406411328/16463189707059882437243*a^3 + 7135087229458564520963239/49389569121179647311729*a^2 + 1190919528861574123255521/16463189707059882437243*a + 278206567709881024226640/16463189707059882437243, 8822904430526196948397/148168707363538941935187*a^29 - 109002127535348161676126/1333518366271850477416683*a^28 - 536541818699040874660660/1333518366271850477416683*a^27 + 1039943977936451289709976/1333518366271850477416683*a^26 + 273964825108923287926051/1333518366271850477416683*a^25 - 1965377544062254245585038/1333518366271850477416683*a^24 + 5392397012220393415196552/1333518366271850477416683*a^23 - 4722092407722160012423993/1333518366271850477416683*a^22 - 18767878768046565397715861/1333518366271850477416683*a^21 + 25149014946302561322344054/1333518366271850477416683*a^20 + 79421040192733538846862865/1333518366271850477416683*a^19 - 17737837393842204860269148/1333518366271850477416683*a^18 - 87834546144864540323052637/444506122090616825805561*a^17 - 80850419974060322257755232/444506122090616825805561*a^16 + 328167271759047257574006259/1333518366271850477416683*a^15 + 891797446100794389392667959/1333518366271850477416683*a^14 + 216425199814270567570960858/444506122090616825805561*a^13 - 83261837913861136608016112/444506122090616825805561*a^12 - 861278356407681174362023829/1333518366271850477416683*a^11 - 632211756846807870308004973/1333518366271850477416683*a^10 - 12867706366530468317922794/1333518366271850477416683*a^9 + 331540962098200459813824644/1333518366271850477416683*a^8 + 108822635241003068109064415/444506122090616825805561*a^7 + 67000041027240227223201815/444506122090616825805561*a^6 + 16871668415014274358737713/148168707363538941935187*a^5 + 23580964465963054811015924/148168707363538941935187*a^4 + 9864626941352461657489916/49389569121179647311729*a^3 + 8265372699161239236450059/49389569121179647311729*a^2 + 1389549075061846758359274/16463189707059882437243*a + 323916945729961048808981/16463189707059882437243, 26260189075038793662011/1333518366271850477416683*a^29 - 12125884712033509344512/444506122090616825805561*a^28 - 183115607485466725171687/1333518366271850477416683*a^27 + 122199758593435120514327/444506122090616825805561*a^26 + 93398437588301873869777/1333518366271850477416683*a^25 - 255051163038218752492298/444506122090616825805561*a^24 + 1988807619209015144223038/1333518366271850477416683*a^23 - 190168127502670822440320/148168707363538941935187*a^22 - 2183021884638655458309466/444506122090616825805561*a^21 + 1067636004947552279514227/148168707363538941935187*a^20 + 25562803086837398074089574/1333518366271850477416683*a^19 - 8150223394401697039187992/1333518366271850477416683*a^18 - 29564482712374346561634088/444506122090616825805561*a^17 - 72778039441112477715811594/1333518366271850477416683*a^16 + 4400279541259468954530136/49389569121179647311729*a^15 + 288212315145983927644238461/1333518366271850477416683*a^14 + 62629687612896839708033642/444506122090616825805561*a^13 - 103632938802652453318054972/1333518366271850477416683*a^12 - 92414891468704584794385998/444506122090616825805561*a^11 - 61037856005541350912506466/444506122090616825805561*a^10 + 1739910499962421441642450/148168707363538941935187*a^9 + 107390460445371956124038932/1333518366271850477416683*a^8 + 3655204231688706224282191/49389569121179647311729*a^7 + 18770349725905242183268571/444506122090616825805561*a^6 + 5269509407291213459097523/148168707363538941935187*a^5 + 852034473384210419904050/16463189707059882437243*a^4 + 3040953227692835606973182/49389569121179647311729*a^3 + 803162827651544619021785/16463189707059882437243*a^2 + 385920074632257007460508/16463189707059882437243*a + 91292555890253726299820/16463189707059882437243, 13464581017517489370175/444506122090616825805561*a^29 - 76875342664746204114656/1333518366271850477416683*a^28 - 225132359738258146092799/1333518366271850477416683*a^27 + 627241666591975406706530/1333518366271850477416683*a^26 - 210559114323838796799584/1333518366271850477416683*a^25 - 752376247286570835879041/1333518366271850477416683*a^24 + 2949993369746990692933934/1333518366271850477416683*a^23 - 3919276806870322868460832/1333518366271850477416683*a^22 - 6910304364377589417251645/1333518366271850477416683*a^21 + 15054609052489782431759960/1333518366271850477416683*a^20 + 32684113187773110144343006/1333518366271850477416683*a^19 - 23483037441812276167385777/1333518366271850477416683*a^18 - 39936941797366894618755304/444506122090616825805561*a^17 - 22087880504441170483246052/444506122090616825805561*a^16 + 189169148938235934578789317/1333518366271850477416683*a^15 + 357491068149814002833346578/1333518366271850477416683*a^14 + 18848460186340169885176841/148168707363538941935187*a^13 - 63805521519205083967886135/444506122090616825805561*a^12 - 339922356522749248013710094/1333518366271850477416683*a^11 - 167457376738976862452703121/1333518366271850477416683*a^10 + 59241043732107825511511293/1333518366271850477416683*a^9 + 136839763381922283780193466/1333518366271850477416683*a^8 + 34103946640689246155381824/444506122090616825805561*a^7 + 18379645660635110671541383/444506122090616825805561*a^6 + 1982433799741803464297434/49389569121179647311729*a^5 + 3013168352710038092837555/49389569121179647311729*a^4 + 3678335086609199453243300/49389569121179647311729*a^3 + 863269280966439468583470/16463189707059882437243*a^2 + 330240242656985416663339/16463189707059882437243*a + 31017234924909765497931/16463189707059882437243, 37865695005263250663230/1333518366271850477416683*a^29 - 15361359008588704319023/1333518366271850477416683*a^28 - 114077749323002842781450/444506122090616825805561*a^27 + 335768309193628149615043/1333518366271850477416683*a^26 + 254629698497028919536586/444506122090616825805561*a^25 - 1448217834650313602742673/1333518366271850477416683*a^24 + 736286716953920589909791/444506122090616825805561*a^23 + 580099483328313878414524/1333518366271850477416683*a^22 - 13993869224186032961521192/1333518366271850477416683*a^21 + 8520751826273341464802333/1333518366271850477416683*a^20 + 1950861889360996289022794/49389569121179647311729*a^19 + 13111804138512474500368075/1333518366271850477416683*a^18 - 51342498128046820851732416/444506122090616825805561*a^17 - 207540044448211608660716761/1333518366271850477416683*a^16 + 133048825092439801371871700/1333518366271850477416683*a^15 + 592748858748806805821236229/1333518366271850477416683*a^14 + 185548280068105470217629458/444506122090616825805561*a^13 - 50340614524577219147603515/1333518366271850477416683*a^12 - 583241396098682509595127598/1333518366271850477416683*a^11 - 529917593945678253623566403/1333518366271850477416683*a^10 - 80450340295917674971934920/1333518366271850477416683*a^9 + 221173287538562280440273396/1333518366271850477416683*a^8 + 81310001559108976785272264/444506122090616825805561*a^7 + 51548696805208387764908966/444506122090616825805561*a^6 + 4005516519327084123478094/49389569121179647311729*a^5 + 16286924555311782600657604/148168707363538941935187*a^4 + 6873093846986288380463492/49389569121179647311729*a^3 + 2115898906872228920649160/16463189707059882437243*a^2 + 1149880560895492575368344/16463189707059882437243*a + 349187311508659537058022/16463189707059882437243, 1750726777955530624286/444506122090616825805561*a^29 - 6315496976491581464012/1333518366271850477416683*a^28 - 27515233777872236727991/1333518366271850477416683*a^27 + 30042441795328335989459/1333518366271850477416683*a^26 + 23470963062282953290714/1333518366271850477416683*a^25 + 58101384355551035628994/1333518366271850477416683*a^24 - 6967006161025531416898/1333518366271850477416683*a^23 - 52931761269560652471850/1333518366271850477416683*a^22 - 633092034801528189033662/1333518366271850477416683*a^21 - 631492690746107693731630/1333518366271850477416683*a^20 + 6632133904525844179787383/1333518366271850477416683*a^19 + 3364269141122798548173817/1333518366271850477416683*a^18 - 17178247551447147573748/1359345939115036164543*a^17 - 1111414483160093500020127/49389569121179647311729*a^16 + 8899347956748423134461081/1333518366271850477416683*a^15 + 76778043391263185876839235/1333518366271850477416683*a^14 + 28126544093987229432119926/444506122090616825805561*a^13 + 644111153826137394290515/444506122090616825805561*a^12 - 77376727488417217860784976/1333518366271850477416683*a^11 - 72684852829589109206145073/1333518366271850477416683*a^10 - 15719081640449273222906585/1333518366271850477416683*a^9 + 27140033642959299102540842/1333518366271850477416683*a^8 + 8335916185158073746572336/444506122090616825805561*a^7 + 2188584946012885854502268/148168707363538941935187*a^6 + 2045896839720182234277962/148168707363538941935187*a^5 + 2707983758007713490502060/148168707363538941935187*a^4 + 1112957164475424000642068/49389569121179647311729*a^3 + 933340635947887761603811/49389569121179647311729*a^2 + 142945726763256451020595/16463189707059882437243*a + 24663988654430491382362/16463189707059882437243, 21791932331077188875593/444506122090616825805561*a^29 - 177266185437826260351487/1333518366271850477416683*a^28 - 249528917014124943053078/1333518366271850477416683*a^27 + 1293152470263991797056494/1333518366271850477416683*a^26 - 1289935240687834706318515/1333518366271850477416683*a^25 - 690618043786612525854820/1333518366271850477416683*a^24 + 5918645548305438762501565/1333518366271850477416683*a^23 - 11102872946047049503435853/1333518366271850477416683*a^22 - 4398961751520404130460801/1333518366271850477416683*a^21 + 32677841272088363515375648/1333518366271850477416683*a^20 + 27261306217136989612361429/1333518366271850477416683*a^19 - 654900314335875652953844/12234113452035325480887*a^18 - 16483885711943271799032169/148168707363538941935187*a^17 + 12094627242780862821962786/444506122090616825805561*a^16 + 338231002521873295387997162/1333518366271850477416683*a^15 + 307627967602491949475264719/1333518366271850477416683*a^14 - 1179384457549658780308844/16463189707059882437243*a^13 - 4710689683989919688285118/16463189707059882437243*a^12 - 268557229433576316246958300/1333518366271850477416683*a^11 + 60307659639091491692436757/1333518366271850477416683*a^10 + 183769618053169960624560089/1333518366271850477416683*a^9 + 109673136721543164356374504/1333518366271850477416683*a^8 + 14172332841407755726213202/444506122090616825805561*a^7 + 2321907057166223133245059/444506122090616825805561*a^6 + 1556470541995477464121105/49389569121179647311729*a^5 + 8325111152675835988325395/148168707363538941935187*a^4 + 819261762471826821266396/16463189707059882437243*a^3 + 699441154217267824916951/49389569121179647311729*a^2 - 128077812780590124500856/16463189707059882437243*a - 162951482084900796510991/16463189707059882437243, 267888971004792921590228/1333518366271850477416683*a^29 - 419498621104833548862922/1333518366271850477416683*a^28 - 559771812364494162908330/444506122090616825805561*a^27 + 3730258896605303252393656/1333518366271850477416683*a^26 - 20333494961755100032699/444506122090616825805561*a^25 - 53130340634524345019080/12234113452035325480887*a^24 + 6306011676787899623864146/444506122090616825805561*a^23 - 20495466040911481070315114/1333518366271850477416683*a^22 - 55475168548815132280299202/1333518366271850477416683*a^21 + 89915762295029277738816646/1333518366271850477416683*a^20 + 81039513585310065417286235/444506122090616825805561*a^19 - 86730878846184075320745824/1333518366271850477416683*a^18 - 278675300986260014685462605/444506122090616825805561*a^17 - 690327999880001526846865615/1333518366271850477416683*a^16 + 1094427039466493641108631147/1333518366271850477416683*a^15 + 2741299505780812446411070496/1333518366271850477416683*a^14 + 70907204784399622437642299/49389569121179647311729*a^13 - 815248058475030618637222603/1333518366271850477416683*a^12 - 2622399783317490505830162385/1333518366271850477416683*a^11 - 1902325528794345277479054359/1333518366271850477416683*a^10 - 43712394574092097959839302/1333518366271850477416683*a^9 + 1006107541149746583655459787/1333518366271850477416683*a^8 + 37471056750737106782812888/49389569121179647311729*a^7 + 23120094993180137582763316/49389569121179647311729*a^6 + 55005183807236179113438415/148168707363538941935187*a^5 + 74543072189211588882189695/148168707363538941935187*a^4 + 10190565307759679418581080/16463189707059882437243*a^3 + 8422022981549542757970577/16463189707059882437243*a^2 + 4266204846213842430602463/16463189707059882437243*a + 1087781791318291233312530/16463189707059882437243, 2770728856467588173551/1333518366271850477416683*a^29 + 20516276114785837824040/1333518366271850477416683*a^28 - 25590323134389284300017/444506122090616825805561*a^27 - 68661969407771391514789/1333518366271850477416683*a^26 + 144239614238387025562039/444506122090616825805561*a^25 - 414348892334497610100578/1333518366271850477416683*a^24 - 16844424696043247377534/444506122090616825805561*a^23 + 1704119021577379397558402/1333518366271850477416683*a^22 - 3993212371090780114631858/1333518366271850477416683*a^21 - 1401570096043613167870405/1333518366271850477416683*a^20 + 4203246732283326485364043/444506122090616825805561*a^19 + 13775867811339275455144217/1333518366271850477416683*a^18 - 9601924518762657060966977/444506122090616825805561*a^17 - 69659933734669988461206365/1333518366271850477416683*a^16 - 1418635769966553335736029/1333518366271850477416683*a^15 + 145166247522269315188315474/1333518366271850477416683*a^14 + 60464807980557233948377000/444506122090616825805561*a^13 + 28293513440500291339726003/1333518366271850477416683*a^12 - 146422204601445615712981568/1333518366271850477416683*a^11 - 165804159021264558954799819/1333518366271850477416683*a^10 - 42203437539478525238877917/1333518366271850477416683*a^9 + 53392697771420035785252826/1333518366271850477416683*a^8 + 22265694524565766962974536/444506122090616825805561*a^7 + 4982188247757825930075320/148168707363538941935187*a^6 + 2866810822561617731438714/148168707363538941935187*a^5 + 3867931155310062906387256/148168707363538941935187*a^4 + 1844392723110726337214732/49389569121179647311729*a^3 + 1873530493618433303760841/49389569121179647311729*a^2 + 373628924572936689270709/16463189707059882437243*a + 121043830430538046044218/16463189707059882437243, 37708472626254796816357/1333518366271850477416683*a^29 - 17848849392289763792413/444506122090616825805561*a^28 - 252973372981735766829944/1333518366271850477416683*a^27 + 56576883458619315938369/148168707363538941935187*a^26 + 107524669170988208122454/1333518366271850477416683*a^25 - 35790978853034042862038/49389569121179647311729*a^24 + 2639343425404814479689091/1333518366271850477416683*a^23 - 773249318249465263201105/444506122090616825805561*a^22 - 2987813642692111621699646/444506122090616825805561*a^21 + 4182632969120300914432255/444506122090616825805561*a^20 + 37344726357636235698473567/1333518366271850477416683*a^19 - 11301183877647178475759909/1333518366271850477416683*a^18 - 41496626348079138051722183/444506122090616825805561*a^17 - 105486002215341914321850131/1333518366271850477416683*a^16 + 17846310952833679922616346/148168707363538941935187*a^15 + 407170333994222638681142045/1333518366271850477416683*a^14 + 3506372727280622938188015/16463189707059882437243*a^13 - 120475522533682719304508693/1333518366271850477416683*a^12 - 128794582993543890060997294/444506122090616825805561*a^11 - 93992228643181710167086547/444506122090616825805561*a^10 - 1997225762587252481948071/444506122090616825805561*a^9 + 151293979229198572707312200/1333518366271850477416683*a^8 + 50411394479906900473148486/444506122090616825805561*a^7 + 3372417792262211085563461/49389569121179647311729*a^6 + 7779727655843023755207829/148168707363538941935187*a^5 + 11097989149181159999101828/148168707363538941935187*a^4 + 4523205584813803718593604/49389569121179647311729*a^3 + 3690517692515753141661844/49389569121179647311729*a^2 + 637314219856803694235283/16463189707059882437243*a + 151149635371341007094873/16463189707059882437243 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units()   gp: K.fu   magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];   oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:		\( 2830009383.1065817 \) (assuming GRH)	sage: K.regulator()   gp: K.reg   magma: Regulator(K);   oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{15}\cdot 2830009383.1065817 \cdot 1}{22\cdot\sqrt{218673142739125286650364496602923076372571}}\cr\approx \mathstrut & 0.258324440068225 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$S_3\times C_{10}$ (as 30T12):

Intermediate fields

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Frobenius cycle types

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\) 3	3.5.0.1	$x^{5} + 2 x + 1$	$1$	$5$	$0$	$C_5$	$[\ ]^{5}$
	3.5.0.1	$x^{5} + 2 x + 1$	$1$	$5$	$0$	$C_5$	$[\ ]^{5}$
	3.10.5.1	$x^{10} + 162 x^{2} - 243$	$2$	$5$	$5$	$C_{10}$	$[\ ]_{2}^{5}$
	3.10.5.1	$x^{10} + 162 x^{2} - 243$	$2$	$5$	$5$	$C_{10}$	$[\ ]_{2}^{5}$
\(7\) 7	7.10.0.1	$x^{10} + x^{6} + x^{5} + 4 x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 3$	$1$	$10$	$0$	$C_{10}$	$[\ ]^{10}$
	7.20.10.1	$x^{20} + 70 x^{18} + 2207 x^{16} + 2 x^{15} + 41168 x^{14} - 68 x^{13} + 501639 x^{12} - 3674 x^{11} + 4175501 x^{10} - 48430 x^{9} + 24202032 x^{8} - 163712 x^{7} + 97377995 x^{6} + 430996 x^{5} + 259701777 x^{4} + 2947158 x^{3} + 412861211 x^{2} + 7541370 x + 287825400$	$2$	$10$	$10$	20T3	$[\ ]_{2}^{10}$
\(11\) 11	11.10.9.7	$x^{10} + 11$	$10$	$1$	$9$	$C_{10}$	$[\ ]_{10}$
	11.20.18.1	$x^{20} + 70 x^{19} + 2225 x^{18} + 42420 x^{17} + 539670 x^{16} + 4821684 x^{15} + 31004730 x^{14} + 144683280 x^{13} + 488310165 x^{12} + 1177567510 x^{11} + 1996241675 x^{10} + 2355135790 x^{9} + 1953262935 x^{8} + 1157863560 x^{7} + 500734950 x^{6} + 191763012 x^{5} + 243790230 x^{4} + 806750280 x^{3} + 2014356815 x^{2} + 2999040310 x + 2009802620$	$10$	$2$	$18$	20T3	$[\ ]_{10}^{2}$

Artin representations