Properties

Label 35.35.107...681.1
Degree $35$
Signature $[35, 0]$
Discriminant $1.074\times 10^{73}$
Root discriminant \(122.07\)
Ramified primes $11,29$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{35}$ (as 35T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^35 - 2*x^34 - 91*x^33 + 186*x^32 + 3529*x^31 - 7282*x^30 - 77406*x^29 + 160015*x^28 + 1074054*x^27 - 2215841*x^26 - 9975621*x^25 + 20528466*x^24 + 63908089*x^23 - 131541229*x^22 - 286306729*x^21 + 593348019*x^20 + 897545333*x^19 - 1896502635*x^18 - 1942677455*x^17 + 4283320775*x^16 + 2804705170*x^15 - 6752081061*x^14 - 2493142459*x^13 + 7254188151*x^12 + 1058706744*x^11 - 5105442290*x^10 + 147588576*x^9 + 2206890342*x^8 - 365733379*x^7 - 523140235*x^6 + 145322301*x^5 + 51716162*x^4 - 20476030*x^3 - 56585*x^2 + 426253*x - 7523)
 
gp: K = bnfinit(y^35 - 2*y^34 - 91*y^33 + 186*y^32 + 3529*y^31 - 7282*y^30 - 77406*y^29 + 160015*y^28 + 1074054*y^27 - 2215841*y^26 - 9975621*y^25 + 20528466*y^24 + 63908089*y^23 - 131541229*y^22 - 286306729*y^21 + 593348019*y^20 + 897545333*y^19 - 1896502635*y^18 - 1942677455*y^17 + 4283320775*y^16 + 2804705170*y^15 - 6752081061*y^14 - 2493142459*y^13 + 7254188151*y^12 + 1058706744*y^11 - 5105442290*y^10 + 147588576*y^9 + 2206890342*y^8 - 365733379*y^7 - 523140235*y^6 + 145322301*y^5 + 51716162*y^4 - 20476030*y^3 - 56585*y^2 + 426253*y - 7523, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^35 - 2*x^34 - 91*x^33 + 186*x^32 + 3529*x^31 - 7282*x^30 - 77406*x^29 + 160015*x^28 + 1074054*x^27 - 2215841*x^26 - 9975621*x^25 + 20528466*x^24 + 63908089*x^23 - 131541229*x^22 - 286306729*x^21 + 593348019*x^20 + 897545333*x^19 - 1896502635*x^18 - 1942677455*x^17 + 4283320775*x^16 + 2804705170*x^15 - 6752081061*x^14 - 2493142459*x^13 + 7254188151*x^12 + 1058706744*x^11 - 5105442290*x^10 + 147588576*x^9 + 2206890342*x^8 - 365733379*x^7 - 523140235*x^6 + 145322301*x^5 + 51716162*x^4 - 20476030*x^3 - 56585*x^2 + 426253*x - 7523);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^35 - 2*x^34 - 91*x^33 + 186*x^32 + 3529*x^31 - 7282*x^30 - 77406*x^29 + 160015*x^28 + 1074054*x^27 - 2215841*x^26 - 9975621*x^25 + 20528466*x^24 + 63908089*x^23 - 131541229*x^22 - 286306729*x^21 + 593348019*x^20 + 897545333*x^19 - 1896502635*x^18 - 1942677455*x^17 + 4283320775*x^16 + 2804705170*x^15 - 6752081061*x^14 - 2493142459*x^13 + 7254188151*x^12 + 1058706744*x^11 - 5105442290*x^10 + 147588576*x^9 + 2206890342*x^8 - 365733379*x^7 - 523140235*x^6 + 145322301*x^5 + 51716162*x^4 - 20476030*x^3 - 56585*x^2 + 426253*x - 7523)
 

\( x^{35} - 2 x^{34} - 91 x^{33} + 186 x^{32} + 3529 x^{31} - 7282 x^{30} - 77406 x^{29} + 160015 x^{28} + \cdots - 7523 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $35$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[35, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(10738289826578710854795473611086878947834443845310364463749065797704132681\) \(\medspace = 11^{28}\cdot 29^{30}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(122.07\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $11^{4/5}29^{6/7}\approx 122.06696490351288$
Ramified primes:   \(11\), \(29\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $35$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(319=11\cdot 29\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{319}(256,·)$, $\chi_{319}(1,·)$, $\chi_{319}(262,·)$, $\chi_{319}(257,·)$, $\chi_{319}(136,·)$, $\chi_{319}(268,·)$, $\chi_{319}(141,·)$, $\chi_{319}(16,·)$, $\chi_{319}(146,·)$, $\chi_{319}(20,·)$, $\chi_{319}(23,·)$, $\chi_{319}(152,·)$, $\chi_{319}(25,·)$, $\chi_{319}(284,·)$, $\chi_{319}(291,·)$, $\chi_{319}(36,·)$, $\chi_{319}(168,·)$, $\chi_{319}(169,·)$, $\chi_{319}(170,·)$, $\chi_{319}(45,·)$, $\chi_{319}(49,·)$, $\chi_{319}(306,·)$, $\chi_{319}(53,·)$, $\chi_{319}(313,·)$, $\chi_{319}(59,·)$, $\chi_{319}(190,·)$, $\chi_{319}(181,·)$, $\chi_{319}(199,·)$, $\chi_{319}(78,·)$, $\chi_{319}(81,·)$, $\chi_{319}(82,·)$, $\chi_{319}(223,·)$, $\chi_{319}(103,·)$, $\chi_{319}(210,·)$, $\chi_{319}(111,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{17}a^{30}+\frac{1}{17}a^{29}+\frac{8}{17}a^{28}+\frac{4}{17}a^{27}+\frac{6}{17}a^{26}-\frac{7}{17}a^{25}+\frac{4}{17}a^{24}-\frac{1}{17}a^{23}+\frac{6}{17}a^{22}-\frac{3}{17}a^{21}+\frac{2}{17}a^{20}+\frac{1}{17}a^{19}+\frac{4}{17}a^{18}+\frac{2}{17}a^{17}-\frac{2}{17}a^{16}-\frac{5}{17}a^{15}-\frac{1}{17}a^{14}-\frac{1}{17}a^{13}-\frac{3}{17}a^{12}+\frac{7}{17}a^{11}-\frac{6}{17}a^{10}+\frac{8}{17}a^{9}-\frac{5}{17}a^{8}+\frac{3}{17}a^{7}-\frac{1}{17}a^{6}+\frac{8}{17}a^{5}+\frac{5}{17}a^{4}-\frac{2}{17}a^{3}+\frac{4}{17}a^{2}+\frac{2}{17}$, $\frac{1}{17}a^{31}+\frac{7}{17}a^{29}-\frac{4}{17}a^{28}+\frac{2}{17}a^{27}+\frac{4}{17}a^{26}-\frac{6}{17}a^{25}-\frac{5}{17}a^{24}+\frac{7}{17}a^{23}+\frac{8}{17}a^{22}+\frac{5}{17}a^{21}-\frac{1}{17}a^{20}+\frac{3}{17}a^{19}-\frac{2}{17}a^{18}-\frac{4}{17}a^{17}-\frac{3}{17}a^{16}+\frac{4}{17}a^{15}-\frac{2}{17}a^{13}-\frac{7}{17}a^{12}+\frac{4}{17}a^{11}-\frac{3}{17}a^{10}+\frac{4}{17}a^{9}+\frac{8}{17}a^{8}-\frac{4}{17}a^{7}-\frac{8}{17}a^{6}-\frac{3}{17}a^{5}-\frac{7}{17}a^{4}+\frac{6}{17}a^{3}-\frac{4}{17}a^{2}+\frac{2}{17}a-\frac{2}{17}$, $\frac{1}{16442519}a^{32}+\frac{33176}{16442519}a^{31}-\frac{63573}{16442519}a^{30}-\frac{3342209}{16442519}a^{29}+\frac{20668}{967207}a^{28}+\frac{5025103}{16442519}a^{27}+\frac{2217578}{16442519}a^{26}-\frac{3198150}{16442519}a^{25}+\frac{6334043}{16442519}a^{24}+\frac{6328100}{16442519}a^{23}+\frac{4922903}{16442519}a^{22}+\frac{160167}{16442519}a^{21}-\frac{2229301}{16442519}a^{20}-\frac{66887}{16442519}a^{19}-\frac{5000589}{16442519}a^{18}+\frac{3165072}{16442519}a^{17}+\frac{962738}{16442519}a^{16}+\frac{7182043}{16442519}a^{15}-\frac{6338095}{16442519}a^{14}-\frac{4972899}{16442519}a^{13}+\frac{6556637}{16442519}a^{12}+\frac{6554077}{16442519}a^{11}+\frac{2978377}{16442519}a^{10}-\frac{1963915}{16442519}a^{9}+\frac{453865}{967207}a^{8}+\frac{6278991}{16442519}a^{7}+\frac{3003927}{16442519}a^{6}-\frac{124675}{967207}a^{5}+\frac{6635400}{16442519}a^{4}+\frac{4110072}{16442519}a^{3}+\frac{191029}{967207}a^{2}+\frac{5576237}{16442519}a-\frac{3740817}{16442519}$, $\frac{1}{5047853333}a^{33}+\frac{45}{5047853333}a^{32}+\frac{86578153}{5047853333}a^{31}+\frac{75628982}{5047853333}a^{30}-\frac{1283099349}{5047853333}a^{29}-\frac{599918663}{5047853333}a^{28}+\frac{1197306054}{5047853333}a^{27}-\frac{1657687911}{5047853333}a^{26}+\frac{77259500}{296932549}a^{25}+\frac{1229634698}{5047853333}a^{24}+\frac{1817813076}{5047853333}a^{23}-\frac{1928066267}{5047853333}a^{22}-\frac{828619354}{5047853333}a^{21}-\frac{12497288}{5047853333}a^{20}-\frac{846308719}{5047853333}a^{19}-\frac{2453847993}{5047853333}a^{18}-\frac{1586543062}{5047853333}a^{17}-\frac{2486197835}{5047853333}a^{16}-\frac{15879486}{5047853333}a^{15}+\frac{2351158649}{5047853333}a^{14}+\frac{1786392285}{5047853333}a^{13}+\frac{1103348119}{5047853333}a^{12}+\frac{1387701249}{5047853333}a^{11}+\frac{1874201832}{5047853333}a^{10}-\frac{250010003}{5047853333}a^{9}-\frac{1907904745}{5047853333}a^{8}-\frac{1201603635}{5047853333}a^{7}+\frac{566191483}{5047853333}a^{6}-\frac{2016630826}{5047853333}a^{5}-\frac{511402422}{5047853333}a^{4}+\frac{2464165785}{5047853333}a^{3}-\frac{1263983250}{5047853333}a^{2}+\frac{1185824816}{5047853333}a-\frac{349091473}{5047853333}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{57\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a^{33}+\frac{10\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!03}a^{32}-\frac{25\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!03}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!04}{68\!\cdots\!59}a^{30}+\frac{23\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!03}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!03}a^{28}+\frac{52\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!03}a^{27}-\frac{38\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!03}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!07}{68\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{98\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!69}{68\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!03}a-\frac{42\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!03}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $34$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{68\!\cdots\!94}{68\!\cdots\!59}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!21}{68\!\cdots\!59}a^{33}-\frac{62\!\cdots\!02}{68\!\cdots\!59}a^{32}+\frac{96\!\cdots\!00}{68\!\cdots\!59}a^{31}+\frac{24\!\cdots\!88}{68\!\cdots\!59}a^{30}-\frac{37\!\cdots\!65}{68\!\cdots\!59}a^{29}-\frac{54\!\cdots\!16}{68\!\cdots\!59}a^{28}+\frac{82\!\cdots\!19}{68\!\cdots\!59}a^{27}+\frac{77\!\cdots\!49}{68\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!29}{68\!\cdots\!59}a^{25}-\frac{73\!\cdots\!83}{68\!\cdots\!59}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!12}{68\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{48\!\cdots\!96}{68\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{66\!\cdots\!29}{68\!\cdots\!59}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!54}{68\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!30}{68\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{75\!\cdots\!08}{68\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{92\!\cdots\!72}{68\!\cdots\!59}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!34}{68\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!94}{68\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!76}{68\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!74}{68\!\cdots\!59}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!27}{68\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!59}{68\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!42}{68\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!16}{68\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!37}{68\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!45}{68\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!76}{68\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!32}{68\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!18}{68\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!60}{68\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!23}{68\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!00}{68\!\cdots\!59}a+\frac{11\!\cdots\!17}{68\!\cdots\!59}$, 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$\frac{12\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{18\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!03}a^{33}-\frac{11\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{32}+\frac{17\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!03}a^{31}+\frac{43\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!03}a^{30}-\frac{68\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!03}a^{29}-\frac{96\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!03}a^{28}+\frac{88\!\cdots\!78}{68\!\cdots\!59}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{85\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{40\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!93}{68\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!03}a+\frac{21\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!03}$, $\frac{48\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{77\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{33}-\frac{44\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!03}a^{32}+\frac{72\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!03}a^{31}+\frac{17\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!03}a^{30}-\frac{28\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!03}a^{29}-\frac{38\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a^{28}+\frac{36\!\cdots\!33}{68\!\cdots\!59}a^{27}+\frac{54\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{51\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{50\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{93\!\cdots\!82}{68\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{79\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!03}a+\frac{10\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!03}$, $\frac{23\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{35\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!03}a^{33}-\frac{21\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!03}a^{32}+\frac{32\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{31}+\frac{83\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!03}a^{30}-\frac{12\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!03}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!03}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!17}{68\!\cdots\!59}a^{27}+\frac{26\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!00}{38\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{77\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!37}{68\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{99\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{79\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{80\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{79\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{83\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{91\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!03}a+\frac{37\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!03}$, $\frac{23\!\cdots\!91}{68\!\cdots\!59}a^{34}-\frac{62\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{33}-\frac{37\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!03}a^{32}+\frac{58\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!03}a^{31}+\frac{14\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!03}a^{30}-\frac{23\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{29}-\frac{32\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{28}+\frac{50\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!03}a^{27}+\frac{45\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{69\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{63\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{40\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{56\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{77\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!03}a+\frac{72\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!03}$, $\frac{47\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{72\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!03}a^{33}-\frac{43\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!03}a^{32}+\frac{67\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!03}a^{31}+\frac{17\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!03}a^{30}-\frac{26\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!03}a^{29}-\frac{38\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!03}a^{28}+\frac{34\!\cdots\!85}{68\!\cdots\!59}a^{27}+\frac{54\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{79\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{51\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!92}{68\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!03}a+\frac{69\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!03}$, 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$\frac{12\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{17\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{33}-\frac{11\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!03}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!03}a^{31}+\frac{45\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!03}a^{30}-\frac{65\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!03}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!03}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!03}a^{27}+\frac{14\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!35}{68\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{90\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{45\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{99\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!03}a+\frac{18\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!03}$, $\frac{47\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{89\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!03}a^{33}-\frac{42\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!03}a^{32}+\frac{83\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!03}a^{31}+\frac{16\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!03}a^{30}-\frac{32\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!03}a^{29}-\frac{37\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!03}a^{28}+\frac{72\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{27}+\frac{52\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{99\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{59\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!98}{68\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{64\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{99\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{84\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{75\!\cdots\!92}{68\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!03}a+\frac{13\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!03}$, $\frac{42\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{60\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!03}a^{33}-\frac{39\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!03}a^{32}+\frac{56\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!03}a^{31}+\frac{15\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!03}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!92}{68\!\cdots\!59}a^{29}-\frac{34\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!03}a^{28}+\frac{48\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{27}+\frac{48\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{66\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{46\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{60\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{64\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{56\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!03}a+\frac{60\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!03}$, 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$\frac{58\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{93\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!03}a^{33}-\frac{53\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{32}+\frac{87\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!03}a^{31}+\frac{21\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!03}a^{30}-\frac{34\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!03}a^{29}-\frac{46\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!03}a^{28}+\frac{74\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!03}a^{27}+\frac{66\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{63\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{41\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{60\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{90\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!03}a+\frac{73\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}$, 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$\frac{23\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{37\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!03}a^{33}-\frac{21\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!03}a^{32}+\frac{35\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!03}a^{31}+\frac{85\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!03}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!03}a^{29}-\frac{19\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}a^{28}+\frac{30\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!03}a^{27}+\frac{26\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{42\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{79\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{62\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{84\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{94\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{90\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{79\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!03}a-\frac{48\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!03}$, 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oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{35}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 21825601175888975000000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{10738289826578710854795473611086878947834443845310364463749065797704132681}}\cr\approx \mathstrut & 0.114424363912813 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^35 - 2*x^34 - 91*x^33 + 186*x^32 + 3529*x^31 - 7282*x^30 - 77406*x^29 + 160015*x^28 + 1074054*x^27 - 2215841*x^26 - 9975621*x^25 + 20528466*x^24 + 63908089*x^23 - 131541229*x^22 - 286306729*x^21 + 593348019*x^20 + 897545333*x^19 - 1896502635*x^18 - 1942677455*x^17 + 4283320775*x^16 + 2804705170*x^15 - 6752081061*x^14 - 2493142459*x^13 + 7254188151*x^12 + 1058706744*x^11 - 5105442290*x^10 + 147588576*x^9 + 2206890342*x^8 - 365733379*x^7 - 523140235*x^6 + 145322301*x^5 + 51716162*x^4 - 20476030*x^3 - 56585*x^2 + 426253*x - 7523)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^35 - 2*x^34 - 91*x^33 + 186*x^32 + 3529*x^31 - 7282*x^30 - 77406*x^29 + 160015*x^28 + 1074054*x^27 - 2215841*x^26 - 9975621*x^25 + 20528466*x^24 + 63908089*x^23 - 131541229*x^22 - 286306729*x^21 + 593348019*x^20 + 897545333*x^19 - 1896502635*x^18 - 1942677455*x^17 + 4283320775*x^16 + 2804705170*x^15 - 6752081061*x^14 - 2493142459*x^13 + 7254188151*x^12 + 1058706744*x^11 - 5105442290*x^10 + 147588576*x^9 + 2206890342*x^8 - 365733379*x^7 - 523140235*x^6 + 145322301*x^5 + 51716162*x^4 - 20476030*x^3 - 56585*x^2 + 426253*x - 7523, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^35 - 2*x^34 - 91*x^33 + 186*x^32 + 3529*x^31 - 7282*x^30 - 77406*x^29 + 160015*x^28 + 1074054*x^27 - 2215841*x^26 - 9975621*x^25 + 20528466*x^24 + 63908089*x^23 - 131541229*x^22 - 286306729*x^21 + 593348019*x^20 + 897545333*x^19 - 1896502635*x^18 - 1942677455*x^17 + 4283320775*x^16 + 2804705170*x^15 - 6752081061*x^14 - 2493142459*x^13 + 7254188151*x^12 + 1058706744*x^11 - 5105442290*x^10 + 147588576*x^9 + 2206890342*x^8 - 365733379*x^7 - 523140235*x^6 + 145322301*x^5 + 51716162*x^4 - 20476030*x^3 - 56585*x^2 + 426253*x - 7523);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^35 - 2*x^34 - 91*x^33 + 186*x^32 + 3529*x^31 - 7282*x^30 - 77406*x^29 + 160015*x^28 + 1074054*x^27 - 2215841*x^26 - 9975621*x^25 + 20528466*x^24 + 63908089*x^23 - 131541229*x^22 - 286306729*x^21 + 593348019*x^20 + 897545333*x^19 - 1896502635*x^18 - 1942677455*x^17 + 4283320775*x^16 + 2804705170*x^15 - 6752081061*x^14 - 2493142459*x^13 + 7254188151*x^12 + 1058706744*x^11 - 5105442290*x^10 + 147588576*x^9 + 2206890342*x^8 - 365733379*x^7 - 523140235*x^6 + 145322301*x^5 + 51716162*x^4 - 20476030*x^3 - 56585*x^2 + 426253*x - 7523);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{35}$ (as 35T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 35
The 35 conjugacy class representatives for $C_{35}$
Character table for $C_{35}$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{11})^+\), 7.7.594823321.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $35$ $35$ $35$ $35$ R $35$ ${\href{/padicField/17.5.0.1}{5} }^{7}$ $35$ ${\href{/padicField/23.7.0.1}{7} }^{5}$ R $35$ $35$ ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{7}$ ${\href{/padicField/43.7.0.1}{7} }^{5}$ $35$ $35$ ${\href{/padicField/59.5.0.1}{5} }^{7}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(11\) Copy content Toggle raw display Deg $35$$5$$7$$28$
\(29\) Copy content Toggle raw display Deg $35$$7$$5$$30$