Properties

Label 39.39.766...761.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $7.660\times 10^{86}$
Root discriminant \(168.97\)
Ramified primes $3,53$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 3*x^38 - 108*x^37 + 298*x^36 + 5118*x^35 - 12960*x^34 - 141273*x^33 + 327258*x^32 + 2542896*x^31 - 5364720*x^30 - 31665816*x^29 + 60457005*x^28 + 282448421*x^27 - 483720000*x^26 - 1843142403*x^25 + 2798088433*x^24 + 8906870079*x^23 - 11806339326*x^22 - 32037019809*x^21 + 36413436990*x^20 + 85660814031*x^19 - 81805437661*x^18 - 168975543573*x^17 + 132746230803*x^16 + 242513964655*x^15 - 153550437819*x^14 - 248180206443*x^13 + 124178901378*x^12 + 176350634529*x^11 - 68071818495*x^10 - 84005722509*x^9 + 23987475126*x^8 + 25531114500*x^7 - 4940743725*x^6 - 4581690405*x^5 + 488059458*x^4 + 422630171*x^3 - 11643372*x^2 - 14496000*x - 430019)
 
gp: K = bnfinit(y^39 - 3*y^38 - 108*y^37 + 298*y^36 + 5118*y^35 - 12960*y^34 - 141273*y^33 + 327258*y^32 + 2542896*y^31 - 5364720*y^30 - 31665816*y^29 + 60457005*y^28 + 282448421*y^27 - 483720000*y^26 - 1843142403*y^25 + 2798088433*y^24 + 8906870079*y^23 - 11806339326*y^22 - 32037019809*y^21 + 36413436990*y^20 + 85660814031*y^19 - 81805437661*y^18 - 168975543573*y^17 + 132746230803*y^16 + 242513964655*y^15 - 153550437819*y^14 - 248180206443*y^13 + 124178901378*y^12 + 176350634529*y^11 - 68071818495*y^10 - 84005722509*y^9 + 23987475126*y^8 + 25531114500*y^7 - 4940743725*y^6 - 4581690405*y^5 + 488059458*y^4 + 422630171*y^3 - 11643372*y^2 - 14496000*y - 430019, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^39 - 3*x^38 - 108*x^37 + 298*x^36 + 5118*x^35 - 12960*x^34 - 141273*x^33 + 327258*x^32 + 2542896*x^31 - 5364720*x^30 - 31665816*x^29 + 60457005*x^28 + 282448421*x^27 - 483720000*x^26 - 1843142403*x^25 + 2798088433*x^24 + 8906870079*x^23 - 11806339326*x^22 - 32037019809*x^21 + 36413436990*x^20 + 85660814031*x^19 - 81805437661*x^18 - 168975543573*x^17 + 132746230803*x^16 + 242513964655*x^15 - 153550437819*x^14 - 248180206443*x^13 + 124178901378*x^12 + 176350634529*x^11 - 68071818495*x^10 - 84005722509*x^9 + 23987475126*x^8 + 25531114500*x^7 - 4940743725*x^6 - 4581690405*x^5 + 488059458*x^4 + 422630171*x^3 - 11643372*x^2 - 14496000*x - 430019);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^39 - 3*x^38 - 108*x^37 + 298*x^36 + 5118*x^35 - 12960*x^34 - 141273*x^33 + 327258*x^32 + 2542896*x^31 - 5364720*x^30 - 31665816*x^29 + 60457005*x^28 + 282448421*x^27 - 483720000*x^26 - 1843142403*x^25 + 2798088433*x^24 + 8906870079*x^23 - 11806339326*x^22 - 32037019809*x^21 + 36413436990*x^20 + 85660814031*x^19 - 81805437661*x^18 - 168975543573*x^17 + 132746230803*x^16 + 242513964655*x^15 - 153550437819*x^14 - 248180206443*x^13 + 124178901378*x^12 + 176350634529*x^11 - 68071818495*x^10 - 84005722509*x^9 + 23987475126*x^8 + 25531114500*x^7 - 4940743725*x^6 - 4581690405*x^5 + 488059458*x^4 + 422630171*x^3 - 11643372*x^2 - 14496000*x - 430019)
 

\( x^{39} - 3 x^{38} - 108 x^{37} + 298 x^{36} + 5118 x^{35} - 12960 x^{34} - 141273 x^{33} + 327258 x^{32} + \cdots - 430019 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $39$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[39, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(766\!\cdots\!761\) \(\medspace = 3^{52}\cdot 53^{36}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(168.97\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $3^{4/3}53^{12/13}\approx 168.96662803404803$
Ramified primes:   \(3\), \(53\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $39$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(477=3^{2}\cdot 53\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{477}(256,·)$, $\chi_{477}(1,·)$, $\chi_{477}(130,·)$, $\chi_{477}(259,·)$, $\chi_{477}(10,·)$, $\chi_{477}(13,·)$, $\chi_{477}(142,·)$, $\chi_{477}(16,·)$, $\chi_{477}(148,·)$, $\chi_{477}(280,·)$, $\chi_{477}(28,·)$, $\chi_{477}(415,·)$, $\chi_{477}(160,·)$, $\chi_{477}(289,·)$, $\chi_{477}(418,·)$, $\chi_{477}(169,·)$, $\chi_{477}(172,·)$, $\chi_{477}(301,·)$, $\chi_{477}(46,·)$, $\chi_{477}(175,·)$, $\chi_{477}(49,·)$, $\chi_{477}(307,·)$, $\chi_{477}(439,·)$, $\chi_{477}(187,·)$, $\chi_{477}(319,·)$, $\chi_{477}(448,·)$, $\chi_{477}(328,·)$, $\chi_{477}(331,·)$, $\chi_{477}(460,·)$, $\chi_{477}(205,·)$, $\chi_{477}(334,·)$, $\chi_{477}(208,·)$, $\chi_{477}(466,·)$, $\chi_{477}(346,·)$, $\chi_{477}(97,·)$, $\chi_{477}(100,·)$, $\chi_{477}(364,·)$, $\chi_{477}(367,·)$, $\chi_{477}(121,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $\frac{1}{2461}a^{33}-\frac{952}{2461}a^{32}-\frac{415}{2461}a^{31}-\frac{356}{2461}a^{30}+\frac{1210}{2461}a^{29}-\frac{38}{2461}a^{28}+\frac{250}{2461}a^{27}+\frac{454}{2461}a^{26}+\frac{330}{2461}a^{25}-\frac{1061}{2461}a^{24}+\frac{408}{2461}a^{23}-\frac{780}{2461}a^{22}-\frac{186}{2461}a^{21}-\frac{7}{23}a^{20}-\frac{200}{2461}a^{19}+\frac{684}{2461}a^{18}+\frac{1225}{2461}a^{17}-\frac{895}{2461}a^{16}+\frac{649}{2461}a^{15}+\frac{346}{2461}a^{14}-\frac{776}{2461}a^{13}-\frac{6}{23}a^{12}-\frac{573}{2461}a^{11}-\frac{1073}{2461}a^{10}+\frac{1123}{2461}a^{9}-\frac{645}{2461}a^{8}-\frac{436}{2461}a^{7}+\frac{16}{2461}a^{6}+\frac{1059}{2461}a^{5}-\frac{290}{2461}a^{4}-\frac{9}{107}a^{3}+\frac{125}{2461}a^{2}-\frac{1063}{2461}a-\frac{1061}{2461}$, $\frac{1}{2461}a^{34}-\frac{1071}{2461}a^{32}+\frac{785}{2461}a^{31}-\frac{545}{2461}a^{30}+\frac{134}{2461}a^{29}+\frac{43}{107}a^{28}-\frac{263}{2461}a^{27}-\frac{26}{107}a^{26}+\frac{24}{107}a^{25}-\frac{654}{2461}a^{24}-\frac{1202}{2461}a^{23}+\frac{476}{2461}a^{22}-\frac{629}{2461}a^{21}+\frac{442}{2461}a^{20}-\frac{219}{2461}a^{19}+\frac{228}{2461}a^{18}-\frac{1209}{2461}a^{17}+\frac{5}{107}a^{16}+\frac{21}{107}a^{15}-\frac{1158}{2461}a^{14}-\frac{1094}{2461}a^{13}+\frac{1032}{2461}a^{12}-\frac{227}{2461}a^{11}+\frac{942}{2461}a^{10}+\frac{377}{2461}a^{9}+\frac{774}{2461}a^{8}+\frac{853}{2461}a^{7}-\frac{936}{2461}a^{6}-\frac{1132}{2461}a^{5}-\frac{655}{2461}a^{4}-\frac{59}{2461}a^{3}-\frac{191}{2461}a^{2}+\frac{895}{2461}a-\frac{1062}{2461}$, $\frac{1}{1769459}a^{35}+\frac{128}{1769459}a^{34}-\frac{72}{1769459}a^{33}-\frac{486867}{1769459}a^{32}-\frac{723176}{1769459}a^{31}-\frac{12070}{76933}a^{30}+\frac{230226}{1769459}a^{29}+\frac{19459}{1769459}a^{28}+\frac{852887}{1769459}a^{27}+\frac{387398}{1769459}a^{26}-\frac{242649}{1769459}a^{25}+\frac{614762}{1769459}a^{24}+\frac{790710}{1769459}a^{23}-\frac{64295}{1769459}a^{22}-\frac{327409}{1769459}a^{21}-\frac{175084}{1769459}a^{20}-\frac{136547}{1769459}a^{19}+\frac{418432}{1769459}a^{18}+\frac{621236}{1769459}a^{17}-\frac{795228}{1769459}a^{16}+\frac{743471}{1769459}a^{15}+\frac{319386}{1769459}a^{14}-\frac{212839}{1769459}a^{13}+\frac{307563}{1769459}a^{12}+\frac{652108}{1769459}a^{11}-\frac{626122}{1769459}a^{10}-\frac{8048}{76933}a^{9}+\frac{479346}{1769459}a^{8}-\frac{730920}{1769459}a^{7}-\frac{784192}{1769459}a^{6}-\frac{876757}{1769459}a^{5}-\frac{383453}{1769459}a^{4}+\frac{533608}{1769459}a^{3}-\frac{656666}{1769459}a^{2}-\frac{822928}{1769459}a+\frac{425924}{1769459}$, $\frac{1}{72953621418683}a^{36}+\frac{13222845}{72953621418683}a^{35}-\frac{9351000118}{72953621418683}a^{34}+\frac{2195265261}{72953621418683}a^{33}-\frac{22462561014962}{72953621418683}a^{32}-\frac{31209068664940}{72953621418683}a^{31}-\frac{25556211314709}{72953621418683}a^{30}+\frac{5894258987003}{72953621418683}a^{29}+\frac{30243092004367}{72953621418683}a^{28}-\frac{215006713718}{3171896583421}a^{27}+\frac{17101236043388}{72953621418683}a^{26}-\frac{21071800342052}{72953621418683}a^{25}-\frac{17175348488027}{72953621418683}a^{24}-\frac{23457116889461}{72953621418683}a^{23}+\frac{28448169704192}{72953621418683}a^{22}+\frac{36380708400203}{72953621418683}a^{21}-\frac{9200604604572}{72953621418683}a^{20}+\frac{10189371521690}{72953621418683}a^{19}-\frac{15069617194344}{72953621418683}a^{18}+\frac{6187489496938}{72953621418683}a^{17}+\frac{12735728591442}{72953621418683}a^{16}+\frac{29177262034729}{72953621418683}a^{15}-\frac{28171218358168}{72953621418683}a^{14}-\frac{29545589905769}{72953621418683}a^{13}-\frac{29940558979291}{72953621418683}a^{12}+\frac{8133787204810}{72953621418683}a^{11}-\frac{20850884459734}{72953621418683}a^{10}+\frac{2901954465324}{72953621418683}a^{9}-\frac{29620734877058}{72953621418683}a^{8}-\frac{1688531867494}{72953621418683}a^{7}+\frac{35398108073775}{72953621418683}a^{6}+\frac{23864236999132}{72953621418683}a^{5}+\frac{27397641311219}{72953621418683}a^{4}+\frac{10925047353256}{72953621418683}a^{3}-\frac{11697730951444}{72953621418683}a^{2}-\frac{323061366876}{72953621418683}a+\frac{26311253964761}{72953621418683}$, $\frac{1}{37\!\cdots\!63}a^{37}-\frac{1978636}{37\!\cdots\!63}a^{36}+\frac{100930458438256}{37\!\cdots\!63}a^{35}+\frac{83\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!63}a^{34}-\frac{534905447984706}{45\!\cdots\!61}a^{33}+\frac{11\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!63}a^{32}-\frac{36\!\cdots\!98}{37\!\cdots\!63}a^{31}-\frac{76\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!63}a^{30}-\frac{33\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!63}a^{29}-\frac{45\!\cdots\!25}{37\!\cdots\!63}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!63}a^{27}+\frac{61\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{93\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{59\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!15}{37\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!50}{37\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!85}{37\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{79\!\cdots\!07}{37\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{94\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!73}{37\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!94}{37\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{98\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!65}{37\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!63}a-\frac{10\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!63}$, $\frac{1}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{35\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{37}+\frac{12\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{36}-\frac{14\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!01}a^{35}-\frac{93\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{29\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{33}+\frac{98\!\cdots\!24}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{88\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!84}{26\!\cdots\!83}a^{29}+\frac{41\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{28\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{94\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{49\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{74\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{77\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{91\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{74\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{95\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!83}a-\frac{11\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $38$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{10\!\cdots\!83}{43\!\cdots\!11}a^{38}-\frac{21\!\cdots\!80}{43\!\cdots\!11}a^{37}-\frac{11\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!11}a^{36}+\frac{20\!\cdots\!81}{43\!\cdots\!11}a^{35}+\frac{56\!\cdots\!42}{43\!\cdots\!11}a^{34}-\frac{83\!\cdots\!70}{43\!\cdots\!11}a^{33}-\frac{16\!\cdots\!05}{43\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{19\!\cdots\!80}{43\!\cdots\!11}a^{31}+\frac{29\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!11}a^{30}-\frac{29\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!11}a^{29}-\frac{37\!\cdots\!46}{43\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{30\!\cdots\!75}{43\!\cdots\!11}a^{27}+\frac{33\!\cdots\!25}{43\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!36}{43\!\cdots\!11}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!67}{43\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!41}{43\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!85}{43\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{44\!\cdots\!45}{61\!\cdots\!69}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!81}{43\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!12}{43\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!85}{43\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!44}{43\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!34}{43\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!88}{43\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!59}{43\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!76}{43\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!69}{43\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{79\!\cdots\!01}{43\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!59}{43\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!67}{43\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!42}{43\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!56}{43\!\cdots\!11}a+\frac{60\!\cdots\!67}{43\!\cdots\!11}$, $\frac{24\!\cdots\!18}{43\!\cdots\!11}a^{38}-\frac{71\!\cdots\!06}{43\!\cdots\!11}a^{37}-\frac{26\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!11}a^{36}+\frac{70\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!11}a^{35}+\frac{12\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!11}a^{34}-\frac{30\!\cdots\!92}{43\!\cdots\!11}a^{33}-\frac{33\!\cdots\!82}{43\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{76\!\cdots\!30}{43\!\cdots\!11}a^{31}+\frac{60\!\cdots\!09}{43\!\cdots\!11}a^{30}-\frac{12\!\cdots\!41}{43\!\cdots\!11}a^{29}-\frac{74\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!10}{43\!\cdots\!11}a^{27}+\frac{65\!\cdots\!02}{43\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!11}a^{25}-\frac{42\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{61\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!90}{43\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!26}{61\!\cdots\!69}a^{21}-\frac{69\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!06}{43\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!68}{43\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!24}{43\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!81}{43\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!96}{43\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!98}{43\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{92\!\cdots\!90}{43\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!82}{43\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!94}{43\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{99\!\cdots\!16}{43\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!11}a+\frac{47\!\cdots\!81}{43\!\cdots\!11}$, $\frac{43\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{10\!\cdots\!48}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{47\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{99\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{22\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{41\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{27\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{11\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{14\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{83\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{63\!\cdots\!14}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{86\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{68\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{90\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{82\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a+\frac{19\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{17\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{47\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{80\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{46\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{88\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{20\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{10\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{50\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{43\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{80\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{54\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{88\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{48\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{91\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!52}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{79\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{81\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a-\frac{87\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{73\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{19\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{79\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{83\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!21}a^{35}+\frac{37\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{81\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{45\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{19\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{18\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{31\!\cdots\!24}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{23\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{34\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{20\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{68\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a+\frac{51\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{20\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{20\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{23\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{36}-\frac{32\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{12\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{34}+\frac{39\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{15\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!21}a^{32}-\frac{17\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{70\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{30}+\frac{42\!\cdots\!48}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{93\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{64\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{90\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{68\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{63\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{50\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!68}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{77\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{70\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{72\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{81\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a+\frac{25\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{11\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{36\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{12\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{36\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{58\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{15\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{69\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{39\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{28\!\cdots\!24}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{64\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{34\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{71\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{29\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{56\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{86\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{72\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{95\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{88\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!48}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a-\frac{57\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{66\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{20\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{70\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{20\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{32\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{38\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!21}a^{33}-\frac{38\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{97\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!21}a^{31}+\frac{15\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{36\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{19\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{40\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{39\!\cdots\!25}{64\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{47\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{74\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!52}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{46\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{66\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{82\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!36}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{84\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{57\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{69\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!21}a+\frac{20\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{10\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{23\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{11\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{22\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{55\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{93\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{67\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{22\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{28\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{34\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{35\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!21}a^{27}+\frac{31\!\cdots\!14}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{91\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{91\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{98\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!68}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{81\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{76\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a+\frac{71\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{21\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{38}+\frac{19\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{30\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{36}-\frac{21\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{17\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{34}+\frac{10\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{25\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!21}a^{32}-\frac{29\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!83}a^{30}+\frac{23\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{69\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!14}{26\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{69\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{69\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{73\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!14}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!14}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{94\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a+\frac{11\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!21}$, $\frac{24\!\cdots\!18}{43\!\cdots\!11}a^{38}-\frac{71\!\cdots\!06}{43\!\cdots\!11}a^{37}-\frac{26\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!11}a^{36}+\frac{70\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!11}a^{35}+\frac{12\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!11}a^{34}-\frac{30\!\cdots\!92}{43\!\cdots\!11}a^{33}-\frac{33\!\cdots\!82}{43\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{76\!\cdots\!30}{43\!\cdots\!11}a^{31}+\frac{60\!\cdots\!09}{43\!\cdots\!11}a^{30}-\frac{12\!\cdots\!41}{43\!\cdots\!11}a^{29}-\frac{74\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!10}{43\!\cdots\!11}a^{27}+\frac{65\!\cdots\!02}{43\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!11}a^{25}-\frac{42\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{61\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!90}{43\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!26}{61\!\cdots\!69}a^{21}-\frac{69\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!06}{43\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!68}{43\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!24}{43\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!81}{43\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!96}{43\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!98}{43\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{92\!\cdots\!90}{43\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!82}{43\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!94}{43\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{99\!\cdots\!16}{43\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{52\!\cdots\!31}{43\!\cdots\!11}a-\frac{39\!\cdots\!30}{43\!\cdots\!11}$, $\frac{21\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{14\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{20\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{14\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{86\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{67\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{88\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{17\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{29\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{31\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{37\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{16\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{53\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{88\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{88\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!34}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!48}{26\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!84}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a+\frac{17\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{42\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{38}+\frac{51\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{50\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{36}-\frac{68\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{26\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{34}+\frac{37\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{34\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!21}a^{32}-\frac{11\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{15\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{30}+\frac{23\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{20\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{31\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{19\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{69\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!69}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!48}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{88\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{67\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{45\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a+\frac{26\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{62\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{25\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{65\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{25\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{29\!\cdots\!48}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{11\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{34\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{29\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{13\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{49\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{56\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!21}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!48}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{86\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{47\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{49\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{83\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!83}a+\frac{58\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{26\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{17\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{24\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{18\!\cdots\!52}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{10\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{81\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{22\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{29\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{36\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{23\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{42\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{75\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{63\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{93\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!18}{31\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!36}{26\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!52}{26\!\cdots\!83}a+\frac{20\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{33\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{44\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!21}a^{37}-\frac{35\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{10\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{16\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{43\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{45\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{47\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!21}a^{31}+\frac{81\!\cdots\!14}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{98\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{19\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{86\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{54\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{86\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{92\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{98\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{63\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!24}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a+\frac{61\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{84\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{57\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{20\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{57\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{98\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{24\!\cdots\!52}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{27\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{62\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{48\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!68}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{26\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{52\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{90\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{62\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{63\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{89\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!44}{36\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a-\frac{33\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{55\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{11\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{27\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{11\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!83}a^{35}-\frac{36\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{54\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{33}+\frac{60\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{14\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{25\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a^{29}+\frac{47\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{31\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{27}-\frac{47\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{78\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{96\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{69\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{61\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{92\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!84}{26\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!83}a-\frac{14\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{41\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{11\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{44\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{11\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{21\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{50\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{57\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{39\!\cdots\!01}{83\!\cdots\!99}a^{31}+\frac{10\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{20\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{22\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!84}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{71\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!24}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{70\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{93\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{29\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!84}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a-\frac{11\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{65\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{71\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{37}+\frac{13\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{76\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!83}a^{35}-\frac{71\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{35\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!83}a^{33}+\frac{74\!\cdots\!48}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{97\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{31}-\frac{19\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{54\!\cdots\!04}{83\!\cdots\!99}a^{29}+\frac{30\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}a^{27}-\frac{34\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{67\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{91\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a-\frac{39\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{63\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{18\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{67\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{18\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{31\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{78\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{87\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{19\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{15\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{31\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{19\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{34\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{16\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{49\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{59\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{78\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{88\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{83\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{66\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a+\frac{11\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{63\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{10\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{70\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{98\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{34\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{16\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!21}a^{33}-\frac{96\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{85\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{17\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{22\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{43\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!21}a^{27}+\frac{20\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{51\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{94\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{64\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{63\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{59\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{58\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{93\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{97\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!36}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a+\frac{13\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{14\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{93\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{36\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{91\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{17\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{39\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{47\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{96\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{84\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{91\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{96\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{83\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{57\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!52}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{50\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{98\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!34}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a-\frac{12\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{13\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{69\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{13\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{71\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{61\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{32\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{15\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{83\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{25\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{14\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{27\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{20\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{83\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{65\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a-\frac{16\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{15\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{46\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{16\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{45\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{77\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{19\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{21\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{49\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{37\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{80\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{43\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!69}a^{28}+\frac{89\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{40\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{70\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!34}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{48\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{95\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{80\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a+\frac{46\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!49}$, $\frac{20\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{43\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{23\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{40\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{11\!\cdots\!34}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{16\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{31\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{40\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{57\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{61\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{72\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{64\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{65\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{47\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{75\!\cdots\!52}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{50\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a+\frac{42\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{19\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{44\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{21\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{42\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{10\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{18\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{28\!\cdots\!52}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{43\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{52\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{69\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{66\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{74\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{59\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{39\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{69\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!79}{36\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!36}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a+\frac{87\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!21}$, $\frac{98\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{65\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{87\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{65\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{31\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{28\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{54\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{69\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{32\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{29}+\frac{50\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{82\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{75\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{91\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!84}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!83}a+\frac{92\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{28\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{38}+\frac{47\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{34\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{36}-\frac{59\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{18\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{34}+\frac{31\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{55\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{32}-\frac{96\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{10\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{30}+\frac{18\!\cdots\!14}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{14\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{24\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{14\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{51\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{77\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{77\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{70\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!01}a+\frac{62\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{38\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{90\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{42\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{86\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{20\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{36\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{56\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{86\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{10\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!24}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{75\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{51\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{36\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!84}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{80\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{77\!\cdots\!14}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{72\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!34}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{71\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a+\frac{18\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{38\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{81\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{18\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{77\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{72\!\cdots\!58}{92\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{32\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{57\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{76\!\cdots\!36}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{10\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{83\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{80\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{68\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{91\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{83\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a+\frac{40\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{79\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{22\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{85\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{22\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{40\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{96\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{11\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{24\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{20\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{38\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{24\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{42\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!14}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{75\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{61\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{46\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{68\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{92\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{87\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{87\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{92\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a+\frac{76\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{39\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{91\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{43\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{88\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{20\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{36\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{58\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{88\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{10\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!68}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{62\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!21}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{67\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{91\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{85\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{52\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{90\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!44}{31\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{47\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a+\frac{22\!\cdots\!36}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{13\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{34\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{14\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{34\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{69\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{14\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{19\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{35\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{34\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{56\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{43\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{61\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{16\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{47\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!68}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!36}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{74\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{67\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!18}{83\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{86\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!69}a+\frac{35\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{23\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{51\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{24\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!69}a^{36}+\frac{49\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{12\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{20\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{35\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{49\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{66\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{77\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{84\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{80\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{76\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{59\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{50\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!94}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{58\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{49\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{66\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a+\frac{68\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{11\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!83}a^{38}+\frac{88\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{13\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!83}a^{36}-\frac{12\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{69\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!83}a^{34}+\frac{75\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{20\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!83}a^{32}-\frac{24\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{40\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!83}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!68}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{54\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{28}-\frac{69\!\cdots\!62}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{51\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{68\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!22}{26\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{47\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{24\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{67\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{90\!\cdots\!34}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!69}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!34}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a+\frac{32\!\cdots\!86}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{26\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!69}a^{38}-\frac{67\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{31\!\cdots\!69}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{64\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{14\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{34}-\frac{27\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{41\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{66\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{76\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{96\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{86\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{83\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{57\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{98\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!32}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{90\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{68\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{56\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{64\!\cdots\!12}{26\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{74\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{86\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a-\frac{20\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!83}$, $\frac{70\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!83}a^{38}-\frac{10\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!83}a^{37}-\frac{78\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{36}+\frac{96\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{46\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!01}a^{34}-\frac{36\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{47\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{73\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!83}a^{31}+\frac{20\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!83}a^{30}-\frac{87\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{29}-\frac{25\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!83}a^{28}+\frac{52\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{23\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!88}{26\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{76\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!84}{26\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{73\!\cdots\!46}{26\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!96}{26\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{81\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!68}{26\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{74\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!83}a+\frac{22\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!83}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 14858926187187562000000000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{39}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 14858926187187562000000000000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{766013724834244650294524354961642632236263716231977842808077352289863965488994713581761}}\cr\approx \mathstrut & 0.147573706416107 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 3*x^38 - 108*x^37 + 298*x^36 + 5118*x^35 - 12960*x^34 - 141273*x^33 + 327258*x^32 + 2542896*x^31 - 5364720*x^30 - 31665816*x^29 + 60457005*x^28 + 282448421*x^27 - 483720000*x^26 - 1843142403*x^25 + 2798088433*x^24 + 8906870079*x^23 - 11806339326*x^22 - 32037019809*x^21 + 36413436990*x^20 + 85660814031*x^19 - 81805437661*x^18 - 168975543573*x^17 + 132746230803*x^16 + 242513964655*x^15 - 153550437819*x^14 - 248180206443*x^13 + 124178901378*x^12 + 176350634529*x^11 - 68071818495*x^10 - 84005722509*x^9 + 23987475126*x^8 + 25531114500*x^7 - 4940743725*x^6 - 4581690405*x^5 + 488059458*x^4 + 422630171*x^3 - 11643372*x^2 - 14496000*x - 430019)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^39 - 3*x^38 - 108*x^37 + 298*x^36 + 5118*x^35 - 12960*x^34 - 141273*x^33 + 327258*x^32 + 2542896*x^31 - 5364720*x^30 - 31665816*x^29 + 60457005*x^28 + 282448421*x^27 - 483720000*x^26 - 1843142403*x^25 + 2798088433*x^24 + 8906870079*x^23 - 11806339326*x^22 - 32037019809*x^21 + 36413436990*x^20 + 85660814031*x^19 - 81805437661*x^18 - 168975543573*x^17 + 132746230803*x^16 + 242513964655*x^15 - 153550437819*x^14 - 248180206443*x^13 + 124178901378*x^12 + 176350634529*x^11 - 68071818495*x^10 - 84005722509*x^9 + 23987475126*x^8 + 25531114500*x^7 - 4940743725*x^6 - 4581690405*x^5 + 488059458*x^4 + 422630171*x^3 - 11643372*x^2 - 14496000*x - 430019, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^39 - 3*x^38 - 108*x^37 + 298*x^36 + 5118*x^35 - 12960*x^34 - 141273*x^33 + 327258*x^32 + 2542896*x^31 - 5364720*x^30 - 31665816*x^29 + 60457005*x^28 + 282448421*x^27 - 483720000*x^26 - 1843142403*x^25 + 2798088433*x^24 + 8906870079*x^23 - 11806339326*x^22 - 32037019809*x^21 + 36413436990*x^20 + 85660814031*x^19 - 81805437661*x^18 - 168975543573*x^17 + 132746230803*x^16 + 242513964655*x^15 - 153550437819*x^14 - 248180206443*x^13 + 124178901378*x^12 + 176350634529*x^11 - 68071818495*x^10 - 84005722509*x^9 + 23987475126*x^8 + 25531114500*x^7 - 4940743725*x^6 - 4581690405*x^5 + 488059458*x^4 + 422630171*x^3 - 11643372*x^2 - 14496000*x - 430019);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^39 - 3*x^38 - 108*x^37 + 298*x^36 + 5118*x^35 - 12960*x^34 - 141273*x^33 + 327258*x^32 + 2542896*x^31 - 5364720*x^30 - 31665816*x^29 + 60457005*x^28 + 282448421*x^27 - 483720000*x^26 - 1843142403*x^25 + 2798088433*x^24 + 8906870079*x^23 - 11806339326*x^22 - 32037019809*x^21 + 36413436990*x^20 + 85660814031*x^19 - 81805437661*x^18 - 168975543573*x^17 + 132746230803*x^16 + 242513964655*x^15 - 153550437819*x^14 - 248180206443*x^13 + 124178901378*x^12 + 176350634529*x^11 - 68071818495*x^10 - 84005722509*x^9 + 23987475126*x^8 + 25531114500*x^7 - 4940743725*x^6 - 4581690405*x^5 + 488059458*x^4 + 422630171*x^3 - 11643372*x^2 - 14496000*x - 430019);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 13.13.491258904256726154641.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $39$ R $39$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/padicField/17.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/padicField/19.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ $39$ ${\href{/padicField/37.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ R $39$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(3\) Copy content Toggle raw display Deg $39$$3$$13$$52$
\(53\) Copy content Toggle raw display 53.13.12.1$x^{13} + 53$$13$$1$$12$$C_{13}$$[\ ]_{13}$
53.13.12.1$x^{13} + 53$$13$$1$$12$$C_{13}$$[\ ]_{13}$
53.13.12.1$x^{13} + 53$$13$$1$$12$$C_{13}$$[\ ]_{13}$