↑

Properties

Label 44.0.191...489.1
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $1.912\times 10^{86}$
Root discriminant \(91.40\)
Ramified primes $3,7,23$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_2\times C_{22}$ (as 44T2)

Related objects

Downloads

Learn more

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 + 46*x^42 - 45*x^41 + 1195*x^40 - 1150*x^39 + 21299*x^38 - 20149*x^37 + 287730*x^36 - 267581*x^35 + 3072523*x^34 - 2804942*x^33 + 26692099*x^32 - 23887157*x^31 + 191331250*x^30 - 167444093*x^29 + 1142837707*x^28 - 975393614*x^27 + 5704151939*x^26 - 4728758325*x^25 + 23804513458*x^24 - 19075755133*x^23 + 82643603403*x^22 - 63567853467*x^21 + 237057619920*x^20 - 173490244577*x^19 + 554044068881*x^18 - 380558605544*x^17 + 1037868132567*x^16 - 657255020887*x^15 + 1512341393536*x^14 - 854306074281*x^13 + 1655465958953*x^12 - 799339188480*x^11 + 1266628178647*x^10 - 472858178519*x^9 + 634019315968*x^8 - 183040091689*x^7 + 183593805097*x^6 - 13681085952*x^5 + 19238856919*x^4 + 3193810729*x^3 + 1973987328*x^2 + 217790679*x + 27008809)
 
gp: K = bnfinit(y^44 - y^43 + 46*y^42 - 45*y^41 + 1195*y^40 - 1150*y^39 + 21299*y^38 - 20149*y^37 + 287730*y^36 - 267581*y^35 + 3072523*y^34 - 2804942*y^33 + 26692099*y^32 - 23887157*y^31 + 191331250*y^30 - 167444093*y^29 + 1142837707*y^28 - 975393614*y^27 + 5704151939*y^26 - 4728758325*y^25 + 23804513458*y^24 - 19075755133*y^23 + 82643603403*y^22 - 63567853467*y^21 + 237057619920*y^20 - 173490244577*y^19 + 554044068881*y^18 - 380558605544*y^17 + 1037868132567*y^16 - 657255020887*y^15 + 1512341393536*y^14 - 854306074281*y^13 + 1655465958953*y^12 - 799339188480*y^11 + 1266628178647*y^10 - 472858178519*y^9 + 634019315968*y^8 - 183040091689*y^7 + 183593805097*y^6 - 13681085952*y^5 + 19238856919*y^4 + 3193810729*y^3 + 1973987328*y^2 + 217790679*y + 27008809, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^44 - x^43 + 46*x^42 - 45*x^41 + 1195*x^40 - 1150*x^39 + 21299*x^38 - 20149*x^37 + 287730*x^36 - 267581*x^35 + 3072523*x^34 - 2804942*x^33 + 26692099*x^32 - 23887157*x^31 + 191331250*x^30 - 167444093*x^29 + 1142837707*x^28 - 975393614*x^27 + 5704151939*x^26 - 4728758325*x^25 + 23804513458*x^24 - 19075755133*x^23 + 82643603403*x^22 - 63567853467*x^21 + 237057619920*x^20 - 173490244577*x^19 + 554044068881*x^18 - 380558605544*x^17 + 1037868132567*x^16 - 657255020887*x^15 + 1512341393536*x^14 - 854306074281*x^13 + 1655465958953*x^12 - 799339188480*x^11 + 1266628178647*x^10 - 472858178519*x^9 + 634019315968*x^8 - 183040091689*x^7 + 183593805097*x^6 - 13681085952*x^5 + 19238856919*x^4 + 3193810729*x^3 + 1973987328*x^2 + 217790679*x + 27008809);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^44 - x^43 + 46*x^42 - 45*x^41 + 1195*x^40 - 1150*x^39 + 21299*x^38 - 20149*x^37 + 287730*x^36 - 267581*x^35 + 3072523*x^34 - 2804942*x^33 + 26692099*x^32 - 23887157*x^31 + 191331250*x^30 - 167444093*x^29 + 1142837707*x^28 - 975393614*x^27 + 5704151939*x^26 - 4728758325*x^25 + 23804513458*x^24 - 19075755133*x^23 + 82643603403*x^22 - 63567853467*x^21 + 237057619920*x^20 - 173490244577*x^19 + 554044068881*x^18 - 380558605544*x^17 + 1037868132567*x^16 - 657255020887*x^15 + 1512341393536*x^14 - 854306074281*x^13 + 1655465958953*x^12 - 799339188480*x^11 + 1266628178647*x^10 - 472858178519*x^9 + 634019315968*x^8 - 183040091689*x^7 + 183593805097*x^6 - 13681085952*x^5 + 19238856919*x^4 + 3193810729*x^3 + 1973987328*x^2 + 217790679*x + 27008809)
 

\( x^{44} - x^{43} + 46 x^{42} - 45 x^{41} + 1195 x^{40} - 1150 x^{39} + 21299 x^{38} - 20149 x^{37} + \cdots + 27008809 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $44$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[0, 22]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(191\!\cdots\!489\) \(\medspace = 3^{22}\cdot 7^{22}\cdot 23^{42}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(91.40\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $3^{1/2}7^{1/2}23^{21/22}\approx 91.39885677323893$
Ramified primes:   \(3\), \(7\), \(23\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $44$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(483=3\cdot 7\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{483}(1,·)$, $\chi_{483}(386,·)$, $\chi_{483}(8,·)$, $\chi_{483}(398,·)$, $\chi_{483}(272,·)$, $\chi_{483}(20,·)$, $\chi_{483}(407,·)$, $\chi_{483}(412,·)$, $\chi_{483}(29,·)$, $\chi_{483}(286,·)$, $\chi_{483}(160,·)$, $\chi_{483}(34,·)$, $\chi_{483}(419,·)$, $\chi_{483}(293,·)$, $\chi_{483}(169,·)$, $\chi_{483}(302,·)$, $\chi_{483}(433,·)$, $\chi_{483}(50,·)$, $\chi_{483}(181,·)$, $\chi_{483}(314,·)$, $\chi_{483}(190,·)$, $\chi_{483}(64,·)$, $\chi_{483}(449,·)$, $\chi_{483}(323,·)$, $\chi_{483}(197,·)$, $\chi_{483}(454,·)$, $\chi_{483}(71,·)$, $\chi_{483}(76,·)$, $\chi_{483}(463,·)$, $\chi_{483}(83,·)$, $\chi_{483}(85,·)$, $\chi_{483}(475,·)$, $\chi_{483}(97,·)$, $\chi_{483}(482,·)$, $\chi_{483}(356,·)$, $\chi_{483}(358,·)$, $\chi_{483}(232,·)$, $\chi_{483}(239,·)$, $\chi_{483}(400,·)$, $\chi_{483}(211,·)$, $\chi_{483}(244,·)$, $\chi_{483}(251,·)$, $\chi_{483}(125,·)$, $\chi_{483}(127,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:  unavailable$^{2097152}$

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{967}a^{24}-\frac{44}{967}a^{23}+\frac{26}{967}a^{22}+\frac{87}{967}a^{21}+\frac{404}{967}a^{20}-\frac{364}{967}a^{19}+\frac{140}{967}a^{18}-\frac{363}{967}a^{17}-\frac{258}{967}a^{16}+\frac{11}{967}a^{15}+\frac{152}{967}a^{14}-\frac{179}{967}a^{13}+\frac{483}{967}a^{12}-\frac{293}{967}a^{11}-\frac{346}{967}a^{10}+\frac{347}{967}a^{9}-\frac{384}{967}a^{8}+\frac{325}{967}a^{7}+\frac{381}{967}a^{6}-\frac{228}{967}a^{5}-\frac{313}{967}a^{4}-\frac{456}{967}a^{3}-\frac{239}{967}a^{2}+\frac{114}{967}a-\frac{55}{967}$, $\frac{1}{967}a^{25}+\frac{24}{967}a^{23}+\frac{264}{967}a^{22}+\frac{364}{967}a^{21}+\frac{6}{967}a^{20}-\frac{404}{967}a^{19}-\frac{5}{967}a^{18}+\frac{209}{967}a^{17}+\frac{263}{967}a^{16}-\frac{331}{967}a^{15}-\frac{260}{967}a^{14}+\frac{343}{967}a^{13}-\frac{315}{967}a^{12}+\frac{300}{967}a^{11}-\frac{372}{967}a^{10}+\frac{379}{967}a^{9}-\frac{132}{967}a^{8}+\frac{176}{967}a^{7}+\frac{97}{967}a^{6}+\frac{292}{967}a^{5}+\frac{277}{967}a^{4}+\frac{4}{967}a^{3}+\frac{235}{967}a^{2}+\frac{126}{967}a+\frac{481}{967}$, $\frac{1}{967}a^{26}+\frac{353}{967}a^{23}-\frac{260}{967}a^{22}-\frac{148}{967}a^{21}-\frac{430}{967}a^{20}+\frac{28}{967}a^{19}-\frac{250}{967}a^{18}+\frac{272}{967}a^{17}+\frac{59}{967}a^{16}+\frac{443}{967}a^{15}-\frac{404}{967}a^{14}+\frac{113}{967}a^{13}+\frac{312}{967}a^{12}-\frac{109}{967}a^{11}-\frac{20}{967}a^{10}+\frac{243}{967}a^{9}-\frac{278}{967}a^{8}+\frac{33}{967}a^{7}-\frac{149}{967}a^{6}-\frac{53}{967}a^{5}-\frac{220}{967}a^{4}-\frac{425}{967}a^{3}+\frac{60}{967}a^{2}-\frac{321}{967}a+\frac{353}{967}$, $\frac{1}{967}a^{27}-\frac{200}{967}a^{23}+\frac{344}{967}a^{22}-\frac{197}{967}a^{21}-\frac{435}{967}a^{20}-\frac{369}{967}a^{19}+\frac{169}{967}a^{18}-\frac{413}{967}a^{17}-\frac{348}{967}a^{16}-\frac{419}{967}a^{15}-\frac{358}{967}a^{14}-\frac{323}{967}a^{13}-\frac{416}{967}a^{12}-\frac{60}{967}a^{11}-\frac{428}{967}a^{10}+\frac{40}{967}a^{9}+\frac{205}{967}a^{8}+\frac{199}{967}a^{7}-\frac{133}{967}a^{6}+\frac{3}{967}a^{5}-\frac{174}{967}a^{4}-\frac{461}{967}a^{3}-\frac{83}{967}a^{2}-\frac{242}{967}a+\frac{75}{967}$, $\frac{1}{967}a^{28}+\frac{247}{967}a^{23}+\frac{168}{967}a^{22}-\frac{441}{967}a^{21}+\frac{170}{967}a^{20}-\frac{106}{967}a^{19}-\frac{456}{967}a^{18}-\frac{423}{967}a^{17}+\frac{199}{967}a^{16}-\frac{92}{967}a^{15}+\frac{100}{967}a^{14}-\frac{437}{967}a^{13}-\frac{160}{967}a^{12}-\frac{41}{967}a^{11}+\frac{464}{967}a^{10}-\frac{19}{967}a^{9}-\frac{208}{967}a^{8}+\frac{78}{967}a^{7}-\frac{190}{967}a^{6}-\frac{325}{967}a^{5}-\frac{206}{967}a^{4}-\frac{385}{967}a^{3}+\frac{308}{967}a^{2}-\frac{333}{967}a-\frac{363}{967}$, $\frac{1}{967}a^{29}+\frac{399}{967}a^{23}-\frac{94}{967}a^{22}-\frac{45}{967}a^{21}-\frac{293}{967}a^{20}-\frac{479}{967}a^{19}-\frac{191}{967}a^{18}-\frac{71}{967}a^{17}-\frac{188}{967}a^{16}+\frac{284}{967}a^{15}-\frac{268}{967}a^{14}-\frac{429}{967}a^{13}-\frac{401}{967}a^{12}+\frac{310}{967}a^{11}+\frac{347}{967}a^{10}+\frac{146}{967}a^{9}+\frac{160}{967}a^{8}-\frac{204}{967}a^{7}+\frac{334}{967}a^{6}+\frac{24}{967}a^{5}-\frac{434}{967}a^{4}-\frac{199}{967}a^{3}-\frac{287}{967}a^{2}-\frac{478}{967}a+\frac{47}{967}$, $\frac{1}{967}a^{30}+\frac{56}{967}a^{23}+\frac{218}{967}a^{22}-\frac{194}{967}a^{21}-\frac{186}{967}a^{20}-\frac{5}{967}a^{19}+\frac{155}{967}a^{18}-\frac{401}{967}a^{17}-\frac{243}{967}a^{16}+\frac{178}{967}a^{15}-\frac{156}{967}a^{14}+\frac{429}{967}a^{13}+\frac{26}{967}a^{12}+\frac{247}{967}a^{11}-\frac{81}{967}a^{10}-\frac{12}{967}a^{9}+\frac{226}{967}a^{8}+\frac{237}{967}a^{7}-\frac{176}{967}a^{6}-\frac{360}{967}a^{5}-\frac{55}{967}a^{4}-\frac{139}{967}a^{3}+\frac{117}{967}a^{2}+\frac{10}{967}a-\frac{296}{967}$, $\frac{1}{967}a^{31}-\frac{219}{967}a^{23}+\frac{284}{967}a^{22}-\frac{223}{967}a^{21}-\frac{388}{967}a^{20}+\frac{232}{967}a^{19}+\frac{462}{967}a^{18}-\frac{222}{967}a^{17}+\frac{121}{967}a^{16}+\frac{195}{967}a^{15}-\frac{347}{967}a^{14}+\frac{380}{967}a^{13}+\frac{275}{967}a^{12}-\frac{112}{967}a^{11}+\frac{24}{967}a^{10}+\frac{134}{967}a^{9}+\frac{467}{967}a^{8}-\frac{3}{967}a^{7}-\frac{422}{967}a^{6}+\frac{142}{967}a^{5}-\frac{17}{967}a^{4}-\frac{456}{967}a^{3}-\frac{144}{967}a^{2}+\frac{89}{967}a+\frac{179}{967}$, $\frac{1}{967}a^{32}+\frac{318}{967}a^{23}-\frac{331}{967}a^{22}+\frac{292}{967}a^{21}-\frac{256}{967}a^{20}+\frac{40}{967}a^{19}+\frac{461}{967}a^{18}-\frac{82}{967}a^{17}-\frac{221}{967}a^{16}+\frac{128}{967}a^{15}-\frac{177}{967}a^{14}-\frac{246}{967}a^{13}+\frac{262}{967}a^{12}-\frac{321}{967}a^{11}-\frac{214}{967}a^{10}+\frac{67}{967}a^{9}+\frac{30}{967}a^{8}+\frac{162}{967}a^{7}+\frac{419}{967}a^{6}+\frac{335}{967}a^{5}-\frac{346}{967}a^{4}-\frac{407}{967}a^{3}-\frac{34}{967}a^{2}+\frac{3}{967}a-\frac{441}{967}$, $\frac{1}{967}a^{33}+\frac{123}{967}a^{23}-\frac{240}{967}a^{22}+\frac{121}{967}a^{21}+\frac{179}{967}a^{20}+\frac{173}{967}a^{19}-\frac{120}{967}a^{18}+\frac{140}{967}a^{17}-\frac{23}{967}a^{16}+\frac{193}{967}a^{15}-\frac{232}{967}a^{14}+\frac{131}{967}a^{13}-\frac{162}{967}a^{12}+\frac{128}{967}a^{11}-\frac{143}{967}a^{10}-\frac{78}{967}a^{9}+\frac{432}{967}a^{8}-\frac{429}{967}a^{7}+\frac{52}{967}a^{6}-\frac{367}{967}a^{5}-\frac{474}{967}a^{4}-\frac{76}{967}a^{3}-\frac{388}{967}a^{2}+\frac{53}{967}a+\frac{84}{967}$, $\frac{1}{967}a^{34}+\frac{337}{967}a^{23}-\frac{176}{967}a^{22}+\frac{115}{967}a^{21}-\frac{202}{967}a^{20}+\frac{170}{967}a^{19}+\frac{326}{967}a^{18}+\frac{144}{967}a^{17}+\frac{16}{967}a^{16}+\frac{349}{967}a^{15}-\frac{192}{967}a^{14}-\frac{386}{967}a^{13}-\frac{294}{967}a^{12}+\frac{117}{967}a^{11}-\frac{68}{967}a^{10}+\frac{299}{967}a^{9}+\frac{387}{967}a^{8}-\frac{276}{967}a^{7}+\frac{153}{967}a^{6}-\frac{473}{967}a^{5}-\frac{257}{967}a^{4}-\frac{386}{967}a^{3}+\frac{440}{967}a^{2}-\frac{400}{967}a-\frac{4}{967}$, $\frac{1}{967}a^{35}+\frac{147}{967}a^{23}+\frac{56}{967}a^{22}+\frac{456}{967}a^{21}+\frac{369}{967}a^{20}+\frac{185}{967}a^{19}+\frac{347}{967}a^{18}-\frac{462}{967}a^{17}+\frac{265}{967}a^{16}-\frac{31}{967}a^{15}-\frac{359}{967}a^{14}+\frac{75}{967}a^{13}-\frac{198}{967}a^{12}+\frac{39}{967}a^{11}-\frac{106}{967}a^{10}+\frac{455}{967}a^{9}-\frac{446}{967}a^{8}-\frac{101}{967}a^{7}-\frac{259}{967}a^{6}+\frac{186}{967}a^{5}-\frac{308}{967}a^{4}+\frac{359}{967}a^{3}-\frac{118}{967}a^{2}+\frac{258}{967}a+\frac{162}{967}$, $\frac{1}{967}a^{36}-\frac{245}{967}a^{23}-\frac{465}{967}a^{22}+\frac{151}{967}a^{21}-\frac{216}{967}a^{20}-\frac{297}{967}a^{19}+\frac{232}{967}a^{18}+\frac{441}{967}a^{17}+\frac{182}{967}a^{16}-\frac{42}{967}a^{15}-\frac{28}{967}a^{14}+\frac{6}{967}a^{13}-\frac{371}{967}a^{12}+\frac{417}{967}a^{11}+\frac{66}{967}a^{10}-\frac{204}{967}a^{9}+\frac{261}{967}a^{8}+\frac{316}{967}a^{7}+\frac{265}{967}a^{6}+\frac{330}{967}a^{5}-\frac{46}{967}a^{4}+\frac{191}{967}a^{3}-\frac{388}{967}a^{2}-\frac{157}{967}a+\frac{349}{967}$, $\frac{1}{967}a^{37}+\frac{359}{967}a^{23}-\frac{248}{967}a^{22}-\frac{175}{967}a^{21}+\frac{49}{967}a^{20}+\frac{16}{967}a^{19}-\frac{71}{967}a^{18}+\frac{211}{967}a^{17}-\frac{397}{967}a^{16}-\frac{234}{967}a^{15}-\frac{467}{967}a^{14}+\frac{256}{967}a^{13}-\frac{189}{967}a^{12}-\frac{161}{967}a^{11}+\frac{122}{967}a^{10}+\frac{180}{967}a^{9}+\frac{35}{967}a^{8}-\frac{371}{967}a^{7}-\frac{124}{967}a^{6}+\frac{180}{967}a^{5}-\frac{101}{967}a^{4}+\frac{64}{967}a^{3}+\frac{275}{967}a^{2}+\frac{236}{967}a+\frac{63}{967}$, $\frac{1}{967}a^{38}+\frac{76}{967}a^{23}+\frac{161}{967}a^{22}-\frac{240}{967}a^{21}+\frac{30}{967}a^{20}+\frac{60}{967}a^{19}+\frac{235}{967}a^{18}+\frac{342}{967}a^{17}-\frac{444}{967}a^{16}+\frac{419}{967}a^{15}-\frac{160}{967}a^{14}+\frac{250}{967}a^{13}-\frac{465}{967}a^{12}-\frac{94}{967}a^{11}-\frac{349}{967}a^{10}+\frac{205}{967}a^{9}+\frac{171}{967}a^{8}+\frac{208}{967}a^{7}-\frac{252}{967}a^{6}-\frac{444}{967}a^{5}+\frac{259}{967}a^{4}-\frac{411}{967}a^{3}-\frac{26}{967}a^{2}-\frac{249}{967}a+\frac{405}{967}$, $\frac{1}{967}a^{39}-\frac{363}{967}a^{23}-\frac{282}{967}a^{22}+\frac{187}{967}a^{21}+\frac{300}{967}a^{20}-\frac{144}{967}a^{19}+\frac{339}{967}a^{18}+\frac{68}{967}a^{17}-\frac{280}{967}a^{16}-\frac{29}{967}a^{15}+\frac{302}{967}a^{14}-\frac{399}{967}a^{13}-\frac{56}{967}a^{12}-\frac{322}{967}a^{11}+\frac{392}{967}a^{10}-\frac{92}{967}a^{9}+\frac{382}{967}a^{8}+\frac{190}{967}a^{7}-\frac{390}{967}a^{6}+\frac{181}{967}a^{5}+\frac{169}{967}a^{4}-\frac{182}{967}a^{3}-\frac{458}{967}a^{2}+\frac{444}{967}a+\frac{312}{967}$, $\frac{1}{967}a^{40}+\frac{185}{967}a^{23}-\frac{45}{967}a^{22}-\frac{30}{967}a^{21}-\frac{476}{967}a^{20}-\frac{281}{967}a^{19}-\frac{363}{967}a^{18}+\frac{430}{967}a^{17}+\frac{116}{967}a^{16}+\frac{427}{967}a^{15}-\frac{342}{967}a^{14}-\frac{244}{967}a^{13}-\frac{20}{967}a^{12}+\frac{403}{967}a^{11}+\frac{20}{967}a^{10}-\frac{334}{967}a^{9}+\frac{46}{967}a^{8}-\frac{389}{967}a^{7}+\frac{203}{967}a^{6}-\frac{400}{967}a^{5}+\frac{305}{967}a^{4}+\frac{338}{967}a^{3}-\frac{250}{967}a^{2}+\frac{113}{967}a+\frac{342}{967}$, $\frac{1}{967}a^{41}+\frac{359}{967}a^{23}-\frac{5}{967}a^{22}-\frac{132}{967}a^{21}+\frac{405}{967}a^{20}+\frac{254}{967}a^{19}-\frac{328}{967}a^{18}-\frac{419}{967}a^{17}-\frac{193}{967}a^{16}-\frac{443}{967}a^{15}-\frac{321}{967}a^{14}+\frac{217}{967}a^{13}+\frac{12}{967}a^{12}+\frac{73}{967}a^{11}-\frac{146}{967}a^{10}-\frac{327}{967}a^{9}+\frac{60}{967}a^{8}+\frac{32}{967}a^{7}-\frac{294}{967}a^{6}-\frac{63}{967}a^{5}+\frac{223}{967}a^{4}-\frac{19}{967}a^{3}-\frac{154}{967}a^{2}-\frac{441}{967}a-\frac{462}{967}$, $\frac{1}{22511673937}a^{42}+\frac{7490681}{22511673937}a^{41}-\frac{3843589}{22511673937}a^{40}+\frac{377233}{22511673937}a^{39}-\frac{10025190}{22511673937}a^{38}-\frac{10412094}{22511673937}a^{37}+\frac{10073275}{22511673937}a^{36}+\frac{11324264}{22511673937}a^{35}-\frac{4806793}{22511673937}a^{34}+\frac{1694153}{22511673937}a^{33}+\frac{3428090}{22511673937}a^{32}+\frac{5937597}{22511673937}a^{31}-\frac{1332}{22511673937}a^{30}+\frac{7920397}{22511673937}a^{29}+\frac{9235928}{22511673937}a^{28}-\frac{7575392}{22511673937}a^{27}+\frac{5129342}{22511673937}a^{26}-\frac{2145052}{22511673937}a^{25}-\frac{6372254}{22511673937}a^{24}+\frac{7841888841}{22511673937}a^{23}-\frac{8252247805}{22511673937}a^{22}+\frac{1631316479}{22511673937}a^{21}+\frac{4647217980}{22511673937}a^{20}+\frac{6737031389}{22511673937}a^{19}-\frac{10139988600}{22511673937}a^{18}+\frac{4835404687}{22511673937}a^{17}+\frac{8986267421}{22511673937}a^{16}-\frac{920034020}{22511673937}a^{15}-\frac{1551988427}{22511673937}a^{14}-\frac{6537212333}{22511673937}a^{13}+\frac{3253516819}{22511673937}a^{12}-\frac{4934776399}{22511673937}a^{11}-\frac{7940992754}{22511673937}a^{10}+\frac{2154032402}{22511673937}a^{9}+\frac{7738449977}{22511673937}a^{8}-\frac{4563620907}{22511673937}a^{7}-\frac{882100650}{22511673937}a^{6}-\frac{8879378304}{22511673937}a^{5}+\frac{10795033758}{22511673937}a^{4}-\frac{396837660}{22511673937}a^{3}-\frac{3038376071}{22511673937}a^{2}-\frac{1182830081}{22511673937}a+\frac{3817921274}{22511673937}$, $\frac{1}{17\!\cdots\!61}a^{43}+\frac{18\!\cdots\!64}{17\!\cdots\!61}a^{42}+\frac{59\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!61}a^{41}+\frac{56\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!61}a^{40}+\frac{70\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!61}a^{39}+\frac{53\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!61}a^{38}+\frac{58\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!61}a^{37}+\frac{80\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!61}a^{36}+\frac{10\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!61}a^{35}+\frac{41\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!61}a^{34}+\frac{58\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!61}a^{33}+\frac{83\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!61}a^{32}-\frac{87\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!61}a^{31}+\frac{46\!\cdots\!62}{17\!\cdots\!61}a^{30}-\frac{16\!\cdots\!00}{36\!\cdots\!63}a^{29}+\frac{53\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!61}a^{28}+\frac{46\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!61}a^{27}+\frac{70\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{75\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!61}a^{23}-\frac{83\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!61}a^{21}+\frac{64\!\cdots\!30}{17\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{78\!\cdots\!70}{17\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!61}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!08}{17\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!80}{17\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!22}{17\!\cdots\!61}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!61}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!61}a-\frac{60\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!13}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $21$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( \frac{73857900024222545976202055339869647817506128310740095305001370312466102504037612912744137883218499856685559626036087218197707212757668267875024805458029060158745303527498}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{43} - \frac{70380622799212996016811932319703617134395448411813848866838804934827281741168356805078447116602612882775727945091827076088820324713359286076327678383293154203840297056824}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{42} + \frac{3393111136137783064624446640090625429211225856842528789628725236959362886599464585075181462638127428524850300226934106137694955948500117867497723640895792394825178150149378}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{41} - \frac{3164069059060903628501998786449587444385823753487412421036274032499346548113577695360729887536688367968377154556921874183041310399752522165541266222347695986010754072337366}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{40} + \frac{88065017109735189974551765864150003933262213936483138577955610831824256363836321532344596890361507335950443033804409011330493274348070529640293623443897260777767310310190188}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{39} - \frac{80801440889560718564653216852466528598284987366977437709928383759582797234877942393753109485472051524606488217821906107026529706309247372659855673306906786906328802587644110}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{38} + \frac{1568124738036927754365033453515611099202419412809512032237863634935878682846679718288936012821116837232503523974275835596072960929152692865326572672838204586702442536429457490}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{37} - \frac{1414643050381657011048934272182562653463234459432257238100847613749414706681295234760723231375509624993843598752187226675913810916106445411570331958338582888733797587532200180}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{36} + \frac{21164215472854653499370361872688760739941898532002371322864632868379776326369405831669479666966354327187003144314061068585597865871057543681369313957268051639992761073691849634}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{35} - \frac{18772452850104485886466656426741309118649388585197592533082920710369497078039412910209036471260768612793839621476920895670967300114628592706763569700356134953612453607471510894}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{34} + \frac{225779067325624883576289251412039207180504016698167949227409714267503817684986322670099610105353171213129845189963126498459003947744783533110257922868445404867065933679120913292}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{33} - \frac{196622449828355794231538860140009388650688288665913042867828501668775913618063932488767383120543741815797972804253373205612167497852281292652880161778464349070369115334588738142}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{32} + \frac{1959394041035195749043602608850344631623738420204482952809853768547739943057664445643634877225098696828470555755865588468623243695999473420739477138793507840846442657664181469522}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{31} - \frac{1672975264935614266706140472936478289550335241266696953133899950507528370272190960552244630297356521198903061213494714179910853923042706604516890730144104127972737973638190859892}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{30} + \frac{298494409388185913932459297788601256024426478536365287105868501249897434617788717540967045285043506517757664982617593559796446009007904058836182676568677598591215753907350079358}{375113391644841034660268880411077396174135129639446537705515077422720480083729087393691741717259735746530486665775125179704659850867887221278859976690840889759489440137271407189} a^{29} - \frac{11715533001899259298219130563016193018698106339787555809890827416409455813885434487071598092575116224162276799132829492686716309147154374361675588888880149164638829361589005203118}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{28} + \frac{83694757508736741234476340557098401109984805395195416574435562128718374125162452963500210497033569704651075988415230858636880442496744702515360799362608141109542730997899549176972}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{27} - \frac{68168674578286860267605539064063320733043385124215107097686700027369902481113194540543567019439723416024948114519914148982375017614938992524299429779324200766883152370667955277790}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{26} + \frac{417162732478237207446777958288154673773573471407317943730216844917217508355710569902837917120283110531011493625537079125391989926141920809565000060854704953274198286732570370449234}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{25} - \frac{330052891676365630666724586283270812039809823719429012064820584546000087425993388899665659963201068517051043685219295142895204734921773460957737228722862913166009608308643289858932}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{24} + \frac{1738215700433811045649512956881164427764822450219535019048648560341440455942100851399956966514071473152818809972151769583504980286039990434606909951896176605675740352687983973243305}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{23} - \frac{1329393480628819572942198519653657981661211361619570476317294920415391840297985845978635944674941527857084488901233214079137642993839845751667637022156304331710526773736638649868462}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{22} + \frac{6023972195943578684710743841528205422216153864029814219065783222501575145346761005879332813907954749845849576761561704531945437976257239330701328021061453986316600257193370546651854}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{21} - \frac{4421828781544993274422913210635840807216119999772009285288587462895795211110288199542495310323524404163674162808980180737878631131135970159259985124497485266697040889409069867909664}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{20} + \frac{17244392168537509906684247612501013646645146845552146374140829899001231250903497523202733176937602640273188162261554562384195125694083733423538675660776916459928654122455688812335622}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{19} - \frac{12040856280538605088808565654503199370825495510590604421838934015838025663992895073960198257842024974638681520146845353961425976967346018928734411133961979604380673937661031217175786}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{18} + \frac{40206729288844215282550825098493759199904519342706627590261379282990484980042461928825566712371210980895018186776196721708707647860207695033912380578926592118953137090547753667685864}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{17} - \frac{26335624907038268680854827967360643320067155806846843965426788008776043554089366775687492872628414978568578449315712407361628077002304973971532813896956936970651977553461016330747430}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{16} + \frac{75110062764712966075506473637758123442976142272887588263673090890854452009493836427181782757609777952482727121463556059638681969782180792374647417650975497915958124942318168836127942}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{15} - \frac{45315845553417542007663109403217405332882172015641978202123035398072851569186390907681990484003021050073040531817441209698063719495289756837145219849277405667690187495911382881912064}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{14} + \frac{109079493365615004995135407500704887782384717338442557461664666423233914336005997236854024427325076761461749459991731515534820242015022620610485335845342266511133393949616836397950778}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{13} - \frac{58593340602025831859085703914956682579941990793603577210945595494240061482697473206277431927774796485810292627195278365223452242342351150825854505016408340334566083800007660568070106}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{12} + \frac{118960892761446723727455056163389636941068986539456127635355743197197987678431254505255272713916140278212907091640925010715038592762470966134448123112691272379466747243581562722004992}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{11} - \frac{54452190995023288524317086442775575264042748762016679532274967841754403901037633498354673796294032477501765733565388600219837926438061178683959805591928605770528694274845079466156582}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{10} + \frac{327040342787436968994791577888808352553473661342331914188120684353980452905547007249448070037185817265090416932913873016307506062284458320260583631145698043103360393955539050147598}{63647398582337648480262228806211688159510292754707535278553099779306363046697715189543364118091002094176652972171230626159274415129208301083416674745377335085545139662280708079} a^{9} - \frac{31883476743115270073484060868620460045350465152618863020113863945008013247565054238197571432559244758344536309980839183086560169296199925174015929699084529611357315684131765232650752}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{8} + \frac{45242568128907769754528789006618454903021648655090428333656818600080675609575298052360209215449927677345956341244200425891932142665885345457699442640998219966924884004896955462455770}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{7} - \frac{12429774537789754471664438548106313877552320023690254366804432215680202285309395217766702988438839992894330041236152504725506789495777406285494562255034641955669237128524908641439194}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{6} + \frac{13036533395237744742721384429076590305275188882095277701832844316128287889980569218900095826124236814493732078328598325255335630377039453041505844668787943792851569675924772778899968}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{5} - \frac{930824072344872041615771372865163165862578507590102704845724360221544665898645435093693442363121115132214664568510450291570226352224490859447720030867917449880248056309026542861862}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{4} + \frac{1459548881664942359921505964263766760225843520894287177074237004239255796435509180097169044434746315160395723457227022372601673522253860333408601067772115438330524530244196516377126}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{3} + \frac{111363846194669328070915349938181941050359826287844574784287322382497842667547128754284643993547834535715936060614132551151524494406238588784593487720500086548138372860431240327168}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a^{2} + \frac{150697211324215851260058298524554883092370270640448265184544191697897436279511399616595805095645224853773753639619758406168190271600111925068525437534952677117216093492490324711898}{17630329407307528629032637379320637620184351093053987272159208638867862563935267107503511860711207580086932873291430883446119012990790699400106418904469521818696003686451756137883} a + \frac{3208963288868010110520566059424180675775318334384163381956489231155518600504355712121951480094935691177979749097575979284388787426260998674262430027296134877512381534337356222}{3392405119743607586883324490921808277888079871667113194565943551831414770816868791130173534868425549372124855357212022983667310562014758399096867212713011702654609137281461639} \)  (order $6$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr $ not computed \end{aligned}\]

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 + 46*x^42 - 45*x^41 + 1195*x^40 - 1150*x^39 + 21299*x^38 - 20149*x^37 + 287730*x^36 - 267581*x^35 + 3072523*x^34 - 2804942*x^33 + 26692099*x^32 - 23887157*x^31 + 191331250*x^30 - 167444093*x^29 + 1142837707*x^28 - 975393614*x^27 + 5704151939*x^26 - 4728758325*x^25 + 23804513458*x^24 - 19075755133*x^23 + 82643603403*x^22 - 63567853467*x^21 + 237057619920*x^20 - 173490244577*x^19 + 554044068881*x^18 - 380558605544*x^17 + 1037868132567*x^16 - 657255020887*x^15 + 1512341393536*x^14 - 854306074281*x^13 + 1655465958953*x^12 - 799339188480*x^11 + 1266628178647*x^10 - 472858178519*x^9 + 634019315968*x^8 - 183040091689*x^7 + 183593805097*x^6 - 13681085952*x^5 + 19238856919*x^4 + 3193810729*x^3 + 1973987328*x^2 + 217790679*x + 27008809)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^44 - x^43 + 46*x^42 - 45*x^41 + 1195*x^40 - 1150*x^39 + 21299*x^38 - 20149*x^37 + 287730*x^36 - 267581*x^35 + 3072523*x^34 - 2804942*x^33 + 26692099*x^32 - 23887157*x^31 + 191331250*x^30 - 167444093*x^29 + 1142837707*x^28 - 975393614*x^27 + 5704151939*x^26 - 4728758325*x^25 + 23804513458*x^24 - 19075755133*x^23 + 82643603403*x^22 - 63567853467*x^21 + 237057619920*x^20 - 173490244577*x^19 + 554044068881*x^18 - 380558605544*x^17 + 1037868132567*x^16 - 657255020887*x^15 + 1512341393536*x^14 - 854306074281*x^13 + 1655465958953*x^12 - 799339188480*x^11 + 1266628178647*x^10 - 472858178519*x^9 + 634019315968*x^8 - 183040091689*x^7 + 183593805097*x^6 - 13681085952*x^5 + 19238856919*x^4 + 3193810729*x^3 + 1973987328*x^2 + 217790679*x + 27008809, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^44 - x^43 + 46*x^42 - 45*x^41 + 1195*x^40 - 1150*x^39 + 21299*x^38 - 20149*x^37 + 287730*x^36 - 267581*x^35 + 3072523*x^34 - 2804942*x^33 + 26692099*x^32 - 23887157*x^31 + 191331250*x^30 - 167444093*x^29 + 1142837707*x^28 - 975393614*x^27 + 5704151939*x^26 - 4728758325*x^25 + 23804513458*x^24 - 19075755133*x^23 + 82643603403*x^22 - 63567853467*x^21 + 237057619920*x^20 - 173490244577*x^19 + 554044068881*x^18 - 380558605544*x^17 + 1037868132567*x^16 - 657255020887*x^15 + 1512341393536*x^14 - 854306074281*x^13 + 1655465958953*x^12 - 799339188480*x^11 + 1266628178647*x^10 - 472858178519*x^9 + 634019315968*x^8 - 183040091689*x^7 + 183593805097*x^6 - 13681085952*x^5 + 19238856919*x^4 + 3193810729*x^3 + 1973987328*x^2 + 217790679*x + 27008809);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^44 - x^43 + 46*x^42 - 45*x^41 + 1195*x^40 - 1150*x^39 + 21299*x^38 - 20149*x^37 + 287730*x^36 - 267581*x^35 + 3072523*x^34 - 2804942*x^33 + 26692099*x^32 - 23887157*x^31 + 191331250*x^30 - 167444093*x^29 + 1142837707*x^28 - 975393614*x^27 + 5704151939*x^26 - 4728758325*x^25 + 23804513458*x^24 - 19075755133*x^23 + 82643603403*x^22 - 63567853467*x^21 + 237057619920*x^20 - 173490244577*x^19 + 554044068881*x^18 - 380558605544*x^17 + 1037868132567*x^16 - 657255020887*x^15 + 1512341393536*x^14 - 854306074281*x^13 + 1655465958953*x^12 - 799339188480*x^11 + 1266628178647*x^10 - 472858178519*x^9 + 634019315968*x^8 - 183040091689*x^7 + 183593805097*x^6 - 13681085952*x^5 + 19238856919*x^4 + 3193810729*x^3 + 1973987328*x^2 + 217790679*x + 27008809);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_2\times C_{22}$ (as 44T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
An abelian group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{22}$
Character table for $C_2\times C_{22}$

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{161}) \), \(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\sqrt{-483}) \), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{161})\), \(\Q(\zeta_{23})^+\), 22.22.78048218870425324004237696277333187889.1, 22.0.304011857053427966889939263171547.1, 22.0.13826007828239234871378695182440742234972683.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $22^{2}$ R $22^{2}$ R $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/padicField/19.11.0.1}{11} }^{4}$ R $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{22}$ $22^{2}$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(3\) Copy content Toggle raw display Deg $44$$2$$22$$22$
\(7\) Copy content Toggle raw display 7.22.11.1$x^{22} + 282475249 x^{2} - 7909306972$$2$$11$$11$22T1$[\ ]_{2}^{11}$
7.22.11.1$x^{22} + 282475249 x^{2} - 7909306972$$2$$11$$11$22T1$[\ ]_{2}^{11}$
\(23\) Copy content Toggle raw display Deg $44$$22$$2$$42$