Normalized defining polynomial

\( x^{24} - 2 x^{23} - 6 x^{22} + 22 x^{21} + 26 x^{20} - 50 x^{19} - 155 x^{18} + 240 x^{17} + 540 x^{16} + \cdots + 1 \) x^24 - 2*x^23 - 6*x^22 + 22*x^21 + 26*x^20 - 50*x^19 - 155*x^18 + 240*x^17 + 540*x^16 - 980*x^15 - 1026*x^14 + 3472*x^13 - 1974*x^12 - 2377*x^11 + 4934*x^10 - 4973*x^9 + 4066*x^8 - 2637*x^7 + 1284*x^6 - 348*x^5 + 56*x^4 - 32*x^3 - x^2 + 2*x + 1

Invariants

Degree:		$24$	sage: K.degree()   gp: poldegree(K.pol)   magma: Degree(K);   oscar: degree(K)
Signature:		$[4, 10]$	sage: K.signature()   gp: K.sign   magma: Signature(K);   oscar: signature(K)
Discriminant:		\(641953627807088196277618408203125\) 641953627807088196277618408203125 \(\medspace = 5^{31}\cdot 13^{10}\)	sage: K.disc()   gp: K.disc   magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);   oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:		\(23.28\)	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())   gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))   magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));   oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:		$5^{31/20}13^{1/2}\approx 43.68930970521314$
Ramified primes:		\(5\), \(13\) 5, 13	sage: K.disc().support()   gp: factor(abs(K.disc))[,1]~   magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));   oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:		\(\Q(\sqrt{5}) \)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$4$	sage: K.automorphisms()   magma: Automorphisms(K);   oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{98\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!51}{98\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!48}{98\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{40\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!97}{98\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!11}{98\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!64}{98\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{78\!\cdots\!31}{98\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!58}{98\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!48}{98\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!14}{98\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!56}{98\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!45}{98\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!12}{98\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{92\!\cdots\!92}{98\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!33}{98\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!06}{98\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!71}{98\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!78}{98\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{82\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!77}{98\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!24}{98\!\cdots\!11}a-\frac{12\!\cdots\!48}{98\!\cdots\!11}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14, a^15, a^16, a^17, a^18, a^19, a^20, a^21, a^22, 1/9831589052636557100220213612127767614111*a^23 - 2182347905835999962905910326243217257951/9831589052636557100220213612127767614111*a^22 + 2569177658514741689423643909768091014248/9831589052636557100220213612127767614111*a^21 - 40943782853174531324951121715953653502/124450494337171608863547007748452754609*a^20 + 3982452839832023880482357752972875177797/9831589052636557100220213612127767614111*a^19 + 4060255007078004692209736736445654805411/9831589052636557100220213612127767614111*a^18 + 3590229734187094176419416837003270269564/9831589052636557100220213612127767614111*a^17 + 787815019215274830500065054920558099431/9831589052636557100220213612127767614111*a^16 + 3823279961080146574653506805763545145681/9831589052636557100220213612127767614111*a^15 - 560182442182603397768004864574866706258/9831589052636557100220213612127767614111*a^14 + 2767300395684372146517488283799209182948/9831589052636557100220213612127767614111*a^13 - 2600986923178893447196077128041405803114/9831589052636557100220213612127767614111*a^12 - 4503614771018832527064289435945254696956/9831589052636557100220213612127767614111*a^11 - 4471710561690460935408695219349390667445/9831589052636557100220213612127767614111*a^10 - 1804332610975018624158683682204471573612/9831589052636557100220213612127767614111*a^9 - 926070493777500233161693907567180088092/9831589052636557100220213612127767614111*a^8 - 3038884790677776755091263536061953407633/9831589052636557100220213612127767614111*a^7 - 2009145577955903186008666588180636549306/9831589052636557100220213612127767614111*a^6 - 1860596388172266464807574273271137780571/9831589052636557100220213612127767614111*a^5 + 291790553006388916232676382318199665378/9831589052636557100220213612127767614111*a^4 + 82884106862011478501390817362782334878/427460393592893786966096244005555113657*a^3 - 235835456795469890175783468160473167577/9831589052636557100220213612127767614111*a^2 - 4480093651549997837198841027085764345224/9831589052636557100220213612127767614111*a - 1298450930736710436915577925120966643848/9831589052636557100220213612127767614111

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$13$	sage: UK.rank()   gp: K.fu   magma: UnitRank(K);   oscar: rank(UK)
Torsion generator:		\( -1 \) -1  (order $2$)	sage: UK.torsion_generator()   gp: K.tu[2]   magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);   oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:		$\frac{11\!\cdots\!08}{42\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{72\!\cdots\!34}{42\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!02}{54\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!30}{42\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!59}{42\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!49}{42\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!12}{42\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{67\!\cdots\!88}{42\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!44}{42\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!67}{42\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!84}{42\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!16}{42\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{52\!\cdots\!81}{42\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!07}{42\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!11}{42\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{95\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!76}{42\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{93\!\cdots\!84}{42\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!57}a-\frac{10\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!57}$, $\frac{38\!\cdots\!39}{42\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{89\!\cdots\!62}{42\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!16}{42\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{72\!\cdots\!14}{42\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!48}{42\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!26}{42\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!42}{42\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!14}{42\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!88}{42\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!68}{42\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!25}{42\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{54\!\cdots\!26}{42\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!99}{42\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!14}{42\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!29}{42\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{94\!\cdots\!84}{42\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!90}{42\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!98}{42\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!25}{42\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!93}{42\!\cdots\!57}a-\frac{46\!\cdots\!05}{42\!\cdots\!57}$, $\frac{48\!\cdots\!49}{98\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!83}{98\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!64}{98\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!35}{98\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!11}{98\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!59}{98\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!37}{98\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!32}{98\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!89}{98\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!70}{98\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!05}{98\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!35}{98\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!09}{98\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!63}{98\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{65\!\cdots\!54}{98\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{58\!\cdots\!03}{98\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!42}{98\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{89\!\cdots\!16}{98\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{82\!\cdots\!04}{42\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{97\!\cdots\!43}{98\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!23}{98\!\cdots\!11}a-\frac{10\!\cdots\!04}{98\!\cdots\!11}$, $\frac{28\!\cdots\!50}{98\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!82}{98\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{61\!\cdots\!75}{98\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!98}{98\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!39}{98\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!31}{98\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!21}{98\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!41}{98\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{81\!\cdots\!41}{98\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!83}{98\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!74}{98\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!92}{98\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!06}{98\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!04}{98\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{70\!\cdots\!67}{98\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{73\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!46}{98\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!65}{98\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!32}{98\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!06}{42\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!36}{98\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!08}{98\!\cdots\!11}a+\frac{82\!\cdots\!14}{98\!\cdots\!11}$, $\frac{93\!\cdots\!46}{98\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{83\!\cdots\!76}{98\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{72\!\cdots\!72}{98\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!79}{98\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!34}{98\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!26}{98\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!15}{98\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!15}{98\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!36}{98\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!52}{98\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!03}{98\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!38}{98\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!08}{98\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!84}{98\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!92}{98\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{67\!\cdots\!77}{98\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!23}{98\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!72}{98\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!29}{98\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{90\!\cdots\!60}{42\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!83}{98\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!07}{98\!\cdots\!11}a-\frac{45\!\cdots\!52}{98\!\cdots\!11}$, $\frac{43\!\cdots\!06}{98\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!52}{98\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!28}{98\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{53\!\cdots\!32}{98\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!21}{98\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{61\!\cdots\!16}{98\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!86}{98\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!60}{98\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{72\!\cdots\!47}{98\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!06}{98\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!93}{98\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!46}{98\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!11}{98\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!63}{98\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!19}{98\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!78}{98\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!32}{98\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!51}{98\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!28}{98\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!45}{42\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!26}{98\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!16}{98\!\cdots\!11}a-\frac{78\!\cdots\!26}{98\!\cdots\!11}$, $a$, $\frac{19\!\cdots\!29}{98\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!94}{98\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!63}{98\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!04}{98\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!24}{98\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!84}{98\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!50}{98\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!49}{98\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!23}{98\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!32}{98\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!25}{98\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!82}{98\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!04}{98\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{70\!\cdots\!29}{98\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!87}{98\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!96}{98\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!88}{98\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!99}{98\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!17}{98\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!62}{42\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!45}{98\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!18}{98\!\cdots\!11}a-\frac{78\!\cdots\!23}{98\!\cdots\!11}$, $\frac{13\!\cdots\!85}{98\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!03}{98\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!18}{98\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!21}{98\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!15}{98\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!22}{98\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!44}{98\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!91}{98\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!84}{98\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!78}{98\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{88\!\cdots\!09}{98\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!58}{98\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!23}{98\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!34}{98\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!36}{98\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!54}{98\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!18}{98\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!44}{98\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{83\!\cdots\!86}{98\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!80}{42\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!99}{98\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!00}{98\!\cdots\!11}a+\frac{39\!\cdots\!97}{98\!\cdots\!11}$, $\frac{15\!\cdots\!37}{98\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!73}{98\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!40}{98\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{60\!\cdots\!03}{98\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!25}{98\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!23}{98\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!18}{98\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{89\!\cdots\!07}{98\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!61}{98\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!73}{98\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{58\!\cdots\!11}{98\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!95}{98\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!44}{98\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!71}{98\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!82}{98\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!58}{98\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!75}{98\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{78\!\cdots\!08}{98\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!32}{42\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!30}{98\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!55}{98\!\cdots\!11}a+\frac{48\!\cdots\!37}{98\!\cdots\!11}$, $\frac{33\!\cdots\!51}{98\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{62\!\cdots\!82}{98\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!73}{98\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{94\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!40}{98\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!45}{98\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{72\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!62}{98\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!11}{98\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!98}{98\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!21}{98\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{54\!\cdots\!06}{98\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!98}{98\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!44}{98\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!09}{98\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!90}{98\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{76\!\cdots\!27}{98\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!45}{98\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!00}{98\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{97\!\cdots\!73}{42\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!26}{98\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!47}{98\!\cdots\!11}a+\frac{10\!\cdots\!82}{98\!\cdots\!11}$, $\frac{55\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{83\!\cdots\!50}{42\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!28}{42\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!16}{54\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!90}{42\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!16}{42\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!84}{42\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!61}{42\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!11}{42\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!15}{42\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!04}{42\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!53}{42\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!42}{42\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!79}{42\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!48}{42\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!11}{42\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!42}{42\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{84\!\cdots\!64}{42\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!03}{42\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!05}{42\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!45}{42\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!41}{42\!\cdots\!57}a-\frac{57\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!57}$, $\frac{39\!\cdots\!43}{98\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{57\!\cdots\!49}{98\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!99}{98\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{92\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!00}{98\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!35}{98\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{69\!\cdots\!77}{98\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!47}{98\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!78}{98\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!01}{98\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{56\!\cdots\!53}{98\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!56}{98\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!32}{98\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!55}{98\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!38}{98\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!31}{98\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!24}{98\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!33}{98\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!77}{98\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!40}{98\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!90}{42\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!93}{98\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!03}{98\!\cdots\!11}a-\frac{77\!\cdots\!17}{98\!\cdots\!11}$ -112846896466985911313930006044408632708/427460393592893786966096244005555113657*a^23 + 204579517702022743393538837411888459691/427460393592893786966096244005555113657*a^22 + 727440740326761756131653180280812706634/427460393592893786966096244005555113657*a^21 - 30012562891727138371972225358448212802/5410891058137896037545522076019684983*a^20 - 3447086470649986598715398917655686398930/427460393592893786966096244005555113657*a^19 + 5262127027663142793599093183684039519159/427460393592893786966096244005555113657*a^18 + 18765995570903003792976439270162658488149/427460393592893786966096244005555113657*a^17 - 24143892708412984774500828015028855668312/427460393592893786966096244005555113657*a^16 - 67214600721582056832058104617049227415688/427460393592893786966096244005555113657*a^15 + 100911639824366958959575054908554758225444/427460393592893786966096244005555113657*a^14 + 140691849191377818718394089734116115946267/427460393592893786966096244005555113657*a^13 - 377225570843805538278375904499916629186384/427460393592893786966096244005555113657*a^12 + 141642104824158667196047604885533055347133/427460393592893786966096244005555113657*a^11 + 335794683929085419325365525529013026254916/427460393592893786966096244005555113657*a^10 - 522460825417542261164929006660963730913981/427460393592893786966096244005555113657*a^9 + 441213226091245178554336762465104855446307/427460393592893786966096244005555113657*a^8 - 315826821524838760612559610790454563700233/427460393592893786966096244005555113657*a^7 + 170023128867057406635746956917365309990031/427460393592893786966096244005555113657*a^6 - 54836518646125965280737791293377494136811/427460393592893786966096244005555113657*a^5 - 9501457608889848420343715155141004626433/427460393592893786966096244005555113657*a^4 + 11421534006604824424603873766165397183876/427460393592893786966096244005555113657*a^3 + 9331746823484411710502731428513064884/427460393592893786966096244005555113657*a^2 + 1458609349997864365844487429159764242917/427460393592893786966096244005555113657*a - 106554967882186235059195424981520970191/427460393592893786966096244005555113657, -38651857904668111260426655152449291839/427460393592893786966096244005555113657*a^23 + 89107234847172622812031864126008396462/427460393592893786966096244005555113657*a^22 + 204962627150547094709681065690509117616/427460393592893786966096244005555113657*a^21 - 11561365092714885780914575677134535504/5410891058137896037545522076019684983*a^20 - 727376084567579807952502898998049067114/427460393592893786966096244005555113657*a^19 + 2157489524030587697999643510577466828148/427460393592893786966096244005555113657*a^18 + 5339985441557178216127226917426734655751/427460393592893786966096244005555113657*a^17 - 10896588091356868292342352163818505911626/427460393592893786966096244005555113657*a^16 - 17599842178633747448645124279569546113442/427460393592893786966096244005555113657*a^15 + 43210151749056964564397172646744637950514/427460393592893786966096244005555113657*a^14 + 26573651772658248201842033153430544513388/427460393592893786966096244005555113657*a^13 - 142138441722162636360761493008687040974868/427460393592893786966096244005555113657*a^12 + 119480821029316324824289392846086323245025/427460393592893786966096244005555113657*a^11 + 54720286341382928286894083188762863643426/427460393592893786966096244005555113657*a^10 - 207566688913841648271267939983718080147899/427460393592893786966096244005555113657*a^9 + 258858867091135333737738845499569572470914/427460393592893786966096244005555113657*a^8 - 239012901863977680831498480764463059136375/427460393592893786966096244005555113657*a^7 + 171407068488260167108169875220305714633729/427460393592893786966096244005555113657*a^6 - 94745191813953932628494610436866128562884/427460393592893786966096244005555113657*a^5 + 37249677871936439539886333226575269951690/427460393592893786966096244005555113657*a^4 - 10713357248812387836666254566652867585598/427460393592893786966096244005555113657*a^3 + 2198732056536174684482423654946683789625/427460393592893786966096244005555113657*a^2 + 401640618977477720523164420568305044293/427460393592893786966096244005555113657*a - 461392380517851137657464471101132227205/427460393592893786966096244005555113657, 48378717031808935470827900845510624149/9831589052636557100220213612127767614111*a^23 - 1344798273272960162272955123946032117683/9831589052636557100220213612127767614111*a^22 + 2104489255166280833963544010585347581064/9831589052636557100220213612127767614111*a^21 + 110997292898587144161494009576785888819/124450494337171608863547007748452754609*a^20 - 25779286287592364942140742373115683947435/9831589052636557100220213612127767614111*a^19 - 36968382130898419657434861848086285203611/9831589052636557100220213612127767614111*a^18 + 53697733440136959805267429914736655893759/9831589052636557100220213612127767614111*a^17 + 207680661351397302042418505748416332246337/9831589052636557100220213612127767614111*a^16 - 264605473957700237880172608015588643334532/9831589052636557100220213612127767614111*a^15 - 743636764221929159241298463623890454741589/9831589052636557100220213612127767614111*a^14 + 1150177146572868555729271785926797479821270/9831589052636557100220213612127767614111*a^13 + 1535103768550015053595565028386894124716505/9831589052636557100220213612127767614111*a^12 - 4441174160678604656184803593702556384076935/9831589052636557100220213612127767614111*a^11 + 2074059446272234688853118455221784048632309/9831589052636557100220213612127767614111*a^10 + 3689073576286083305631880213429897230823163/9831589052636557100220213612127767614111*a^9 - 6598833259937343497845419016001200669199154/9831589052636557100220213612127767614111*a^8 + 5888786431816097250665565928405020641731103/9831589052636557100220213612127767614111*a^7 - 4168749117566379733785833177912716817443102/9831589052636557100220213612127767614111*a^6 + 2346418867309839449859060461429210186474242/9831589052636557100220213612127767614111*a^5 - 895788919890221563807207218357641514007716/9831589052636557100220213612127767614111*a^4 + 82401124977114241888470004283217372704/427460393592893786966096244005555113657*a^3 + 97704942577310371892985911052520539434143/9831589052636557100220213612127767614111*a^2 + 1648898132284446424712487307535216283423/9831589052636557100220213612127767614111*a - 10148396617519551808355407413544305565104/9831589052636557100220213612127767614111, -288509116460781432767577355587327438650/9831589052636557100220213612127767614111*a^23 + 1638848088554515178409812185275894214582/9831589052636557100220213612127767614111*a^22 - 617456368637983719177591384800214412775/9831589052636557100220213612127767614111*a^21 - 156352275158773230529849191978767574713/124450494337171608863547007748452754609*a^20 + 17236882746853698864856580812808091495098/9831589052636557100220213612127767614111*a^19 + 37748930271927566627342849799676531418439/9831589052636557100220213612127767614111*a^18 - 15085500990269620635941329248536616770931/9831589052636557100220213612127767614111*a^17 - 227001996020556610274849981282763820695921/9831589052636557100220213612127767614111*a^16 + 132593977131430357688657590163748369126441/9831589052636557100220213612127767614111*a^15 + 817615157172278180425291985692807784526341/9831589052636557100220213612127767614111*a^14 - 862398518888194541672230974269356532836583/9831589052636557100220213612127767614111*a^13 - 1929814032850188319037203991982091615768874/9831589052636557100220213612127767614111*a^12 + 4481739146452169764182979175914435606088692/9831589052636557100220213612127767614111*a^11 - 2039815113735217480073756446933956310023706/9831589052636557100220213612127767614111*a^10 - 3594034311536553341223767289617639134778504/9831589052636557100220213612127767614111*a^9 + 7051364575753108293469444345684366350605067/9831589052636557100220213612127767614111*a^8 - 7363033856307554158934564532028280947153081/9831589052636557100220213612127767614111*a^7 + 6138007401124457585044471539920875439716546/9831589052636557100220213612127767614111*a^6 - 4066800526096447351114878762769367118473565/9831589052636557100220213612127767614111*a^5 + 2060620682669351828931214093253436351107332/9831589052636557100220213612127767614111*a^4 - 30959331537194895236837120522866876496106/427460393592893786966096244005555113657*a^3 + 173996970726484724170582996425230552833636/9831589052636557100220213612127767614111*a^2 - 53604296998840528685960343163144275693908/9831589052636557100220213612127767614111*a + 825548391799262532929512405712078524614/9831589052636557100220213612127767614111, 937931177889041730619093069149226086046/9831589052636557100220213612127767614111*a^23 - 835670422760016246203783109307439661076/9831589052636557100220213612127767614111*a^22 - 7233366843217833062619920039986964119972/9831589052636557100220213612127767614111*a^21 + 174099389520443874706685272843351642156/124450494337171608863547007748452754609*a^20 + 43977485825875574380512133909917863419079/9831589052636557100220213612127767614111*a^19 - 11564441404648151881612409401588290542334/9831589052636557100220213612127767614111*a^18 - 179368905145205526992480564189886010252226/9831589052636557100220213612127767614111*a^17 + 51703021985737931481899273811512673200015/9831589052636557100220213612127767614111*a^16 + 672649236139291296193791962485988352286715/9831589052636557100220213612127767614111*a^15 - 298734492542887733009948253419696896939436/9831589052636557100220213612127767614111*a^14 - 1680017255014687096551243166345460577574152/9831589052636557100220213612127767614111*a^13 + 1925334961188694727828083910535854721999503/9831589052636557100220213612127767614111*a^12 + 1073943858081481319322845204692207643816338/9831589052636557100220213612127767614111*a^11 - 3095391400938318575715919642470357611269708/9831589052636557100220213612127767614111*a^10 + 2071265211770870927555656049630020390341884/9831589052636557100220213612127767614111*a^9 - 722646982807204980135764463040708120449992/9831589052636557100220213612127767614111*a^8 + 67551839062676113375373062419325295136877/9831589052636557100220213612127767614111*a^7 + 428645560555996656169764675029163390389523/9831589052636557100220213612127767614111*a^6 - 421309116270658047559109120617688574805072/9831589052636557100220213612127767614111*a^5 + 386525506710908257867131819336765657323129/9831589052636557100220213612127767614111*a^4 - 906347735497860407289406994850864919460/427460393592893786966096244005555113657*a^3 - 25012255692092763658840978774900812620783/9831589052636557100220213612127767614111*a^2 - 15793938642996944817252534920566052335507/9831589052636557100220213612127767614111*a - 4507818455661975466416922194124134812552/9831589052636557100220213612127767614111, -437790053987625224778783250988654601406/9831589052636557100220213612127767614111*a^23 + 1268878528908904468649642910025694876452/9831589052636557100220213612127767614111*a^22 + 2252768221597579914855687543573874866328/9831589052636557100220213612127767614111*a^21 - 160734292224050590811372068674837399924/124450494337171608863547007748452754609*a^20 - 5386779278764326705076740793121740041432/9831589052636557100220213612127767614111*a^19 + 40402719350314242225064510843417831663921/9831589052636557100220213612127767614111*a^18 + 61163234317606063628278389965772857392116/9831589052636557100220213612127767614111*a^17 - 182559634294516513297966858297868383850686/9831589052636557100220213612127767614111*a^16 - 209988674469596575481982260790213607082460/9831589052636557100220213612127767614111*a^15 + 720492538231201209028720359034097243665647/9831589052636557100220213612127767614111*a^14 + 306323304715470189806678538330419834415106/9831589052636557100220213612127767614111*a^13 - 2254654646561008434631302495373889117342493/9831589052636557100220213612127767614111*a^12 + 1723435724564250830475026328725382641052646/9831589052636557100220213612127767614111*a^11 + 1537545419145080244408406251327204199495311/9831589052636557100220213612127767614111*a^10 - 3568151016797317613398893519360363396921463/9831589052636557100220213612127767614111*a^9 + 3061581807322828283617769228231837578610019/9831589052636557100220213612127767614111*a^8 - 2024004706456138901663024085615601286139378/9831589052636557100220213612127767614111*a^7 + 1136883588061725174376100936024187765849332/9831589052636557100220213612127767614111*a^6 - 302325800716199944125807315051426874039851/9831589052636557100220213612127767614111*a^5 - 134139613868445952777512680797836981065528/9831589052636557100220213612127767614111*a^4 + 8596807319510370556321358515172443792645/427460393592893786966096244005555113657*a^3 - 30508672726272981055733747062049517527226/9831589052636557100220213612127767614111*a^2 + 1130128768750401088897882402787292480916/9831589052636557100220213612127767614111*a - 7895291234624269166735362581018868691726/9831589052636557100220213612127767614111, a, 1933254114731149542707797420481760762929/9831589052636557100220213612127767614111*a^23 - 3079018770035281867340199573321186411394/9831589052636557100220213612127767614111*a^22 - 12548237448773587978315352094240672930363/9831589052636557100220213612127767614111*a^21 + 465675941261514221840279236238381169360/124450494337171608863547007748452754609*a^20 + 63516853745248900523050700119802078077404/9831589052636557100220213612127767614111*a^19 - 64019472108009719093678126776268545038424/9831589052636557100220213612127767614111*a^18 - 318657630982346112725900161419203102943484/9831589052636557100220213612127767614111*a^17 + 319360020419473047149962964793197276399550/9831589052636557100220213612127767614111*a^16 + 1130013388602209698702472752350816156712149/9831589052636557100220213612127767614111*a^15 - 1359155942640452728993874149420384727105523/9831589052636557100220213612127767614111*a^14 - 2387599378421723354772060020864284303615932/9831589052636557100220213612127767614111*a^13 + 5435751130590717979833386267922860385202225/9831589052636557100220213612127767614111*a^12 - 1857452701669860119858097097583939445730982/9831589052636557100220213612127767614111*a^11 - 4300757956752012144312189584938895402272204/9831589052636557100220213612127767614111*a^10 + 7024342354556156620847161989365166567759529/9831589052636557100220213612127767614111*a^9 - 7294835670574470493726719904815346785761787/9831589052636557100220213612127767614111*a^8 + 6446464055008835938712614660010436936641896/9831589052636557100220213612127767614111*a^7 - 4249298138045508175605666711744527855499488/9831589052636557100220213612127767614111*a^6 + 2262297913989207503972205341431498307132399/9831589052636557100220213612127767614111*a^5 - 779146586315719222045752882966632448507417/9831589052636557100220213612127767614111*a^4 + 15631654008792819946965259888320467904462/427460393592893786966096244005555113657*a^3 - 125570383544375862637320539330118856075245/9831589052636557100220213612127767614111*a^2 + 5339480316756842550796437548612074788118/9831589052636557100220213612127767614111*a - 7877177304847823258847470324091816304423/9831589052636557100220213612127767614111, -131936759225819461929815098292164491785/9831589052636557100220213612127767614111*a^23 - 592520881809941688714134393042217444603/9831589052636557100220213612127767614111*a^22 + 1796256790776501286421828450469699302918/9831589052636557100220213612127767614111*a^21 + 41499312837419295476473318839347925836/124450494337171608863547007748452754609*a^20 - 17520147825818541059460078059440137352721/9831589052636557100220213612127767614111*a^19 - 28712595542012184806580534359844859945915/9831589052636557100220213612127767614111*a^18 + 38349828011620054895951855758862212414822/9831589052636557100220213612127767614111*a^17 + 122740581443380748094111061539047738200744/9831589052636557100220213612127767614111*a^16 - 157962145583848106861970693929200457272991/9831589052636557100220213612127767614111*a^15 - 440572861140416873651279420494978292760984/9831589052636557100220213612127767614111*a^14 + 544465020807541070965129241495636371842678/9831589052636557100220213612127767614111*a^13 + 887466906406312645202041705292584576779109/9831589052636557100220213612127767614111*a^12 - 1773334589807601267559739108208234025718758/9831589052636557100220213612127767614111*a^11 + 47544724268183689806913131018392584675923/9831589052636557100220213612127767614111*a^10 + 1834715489319868891261235160457785953674534/9831589052636557100220213612127767614111*a^9 - 1723091553958715141099003640787277347672036/9831589052636557100220213612127767614111*a^8 + 1135481025045398560845480758604520025166454/9831589052636557100220213612127767614111*a^7 - 843854260853838649658617808355287346616618/9831589052636557100220213612127767614111*a^6 + 349887336402605991934182471008862781287544/9831589052636557100220213612127767614111*a^5 - 83656171413791149100430937191748462433886/9831589052636557100220213612127767614111*a^4 - 5101868393812443682124187915154443722080/427460393592893786966096244005555113657*a^3 - 11695368748449592333454987116819311938999/9831589052636557100220213612127767614111*a^2 + 9439472028986402057645815816349373310600/9831589052636557100220213612127767614111*a + 3971021455621431727915259938968188512997/9831589052636557100220213612127767614111, 1534026882369577678562720962915301228037/9831589052636557100220213612127767614111*a^23 - 2004537448171027065673386948341982182073/9831589052636557100220213612127767614111*a^22 - 10922742674712487674195369898049661744340/9831589052636557100220213612127767614111*a^21 + 340977036055591230972440339463396512179/124450494337171608863547007748452754609*a^20 + 60195272936277879836862262819944531640103/9831589052636557100220213612127767614111*a^19 - 42573805181972187546930786117090382628025/9831589052636557100220213612127767614111*a^18 - 272711867095209340123588179032117792136123/9831589052636557100220213612127767614111*a^17 + 195347331712340115791629502064003249649018/9831589052636557100220213612127767614111*a^16 + 1005640664545494886334894472123579910852502/9831589052636557100220213612127767614111*a^15 - 893967621553094953886939183981835934127807/9831589052636557100220213612127767614111*a^14 - 2323924887143452241007281336348411674845261/9831589052636557100220213612127767614111*a^13 + 4061620502890918705159574688292858575453573/9831589052636557100220213612127767614111*a^12 - 58018628432308565699015669034744502301611/9831589052636557100220213612127767614111*a^11 - 4804573682757794071121146013042230470252495/9831589052636557100220213612127767614111*a^10 + 5421930345017903634660051423242677005097844/9831589052636557100220213612127767614111*a^9 - 3768751632850079164031896058805582212720271/9831589052636557100220213612127767614111*a^8 + 1905496718679797810371291403039068768012982/9831589052636557100220213612127767614111*a^7 - 108151503772373693377734219445083381126758/9831589052636557100220213612127767614111*a^6 - 587059057995746490015717367989379914710875/9831589052636557100220213612127767614111*a^5 + 789066340242021726010311014224033321984108/9831589052636557100220213612127767614111*a^4 - 16011210394075568522300299640672778312332/427460393592893786966096244005555113657*a^3 + 124488349417883895873995672930295968552530/9831589052636557100220213612127767614111*a^2 - 38337544003432759901553823671651872135255/9831589052636557100220213612127767614111*a + 4890728936562681740347347667860957494937/9831589052636557100220213612127767614111, -3338472531236091548719103133195130171151/9831589052636557100220213612127767614111*a^23 + 6213923790608567120716192133365828894682/9831589052636557100220213612127767614111*a^22 + 20646428441816579070846805156279916910973/9831589052636557100220213612127767614111*a^21 - 889700839138157165675010607891567067353/124450494337171608863547007748452754609*a^20 - 94814394417920029215730407091598885896381/9831589052636557100220213612127767614111*a^19 + 149727176436792226252048713875527784814640/9831589052636557100220213612127767614111*a^18 + 528396992880311529674076674024102458641445/9831589052636557100220213612127767614111*a^17 - 723174951823822283980916870695531851143202/9831589052636557100220213612127767614111*a^16 - 1859697669011762119744779933006544988153162/9831589052636557100220213612127767614111*a^15 + 2988660438521311435909581748238279675375611/9831589052636557100220213612127767614111*a^14 + 3681043307216851131899006523277000681594298/9831589052636557100220213612127767614111*a^13 - 10965248738076642918168963491332922870561321/9831589052636557100220213612127767614111*a^12 + 5436974138440219068093588698954881911767706/9831589052636557100220213612127767614111*a^11 + 8122808293143846444690424852821319029305398/9831589052636557100220213612127767614111*a^10 - 15378534695853483844257848280721322990631644/9831589052636557100220213612127767614111*a^9 + 15075450173275717760243608154777727399503409/9831589052636557100220213612127767614111*a^8 - 12107454482181817304947884477588883133265690/9831589052636557100220213612127767614111*a^7 + 7692804402890041139186902622730783225740227/9831589052636557100220213612127767614111*a^6 - 3759922808263511995777781967367017220949945/9831589052636557100220213612127767614111*a^5 + 979956720625408455469804263719830071155100/9831589052636557100220213612127767614111*a^4 - 9733348814896783149700926395630660040373/427460393592893786966096244005555113657*a^3 + 135749162339945613266268252453360137779926/9831589052636557100220213612127767614111*a^2 - 18447241254041157257454257751004713493247/9831589052636557100220213612127767614111*a + 103833026269333869883253750832562853482/9831589052636557100220213612127767614111, -55413767595603193543246477610865545387/427460393592893786966096244005555113657*a^23 + 83952167163150949423917059960687921050/427460393592893786966096244005555113657*a^22 + 421313447492603241223522937024418598028/427460393592893786966096244005555113657*a^21 - 14135612336732927665253110223662269616/5410891058137896037545522076019684983*a^20 - 2263379464840468562349724729759580092690/427460393592893786966096244005555113657*a^19 + 2776167939903738976075994967177501768816/427460393592893786966096244005555113657*a^18 + 11078552041631517139230107568921327951284/427460393592893786966096244005555113657*a^17 - 10582110478686065028401476946567226408061/427460393592893786966096244005555113657*a^16 - 42268043237954257068215894628350397464611/427460393592893786966096244005555113657*a^15 + 46519077719165011440074695147351576424815/427460393592893786966096244005555113657*a^14 + 104492547986456986380771614490874824855604/427460393592893786966096244005555113657*a^13 - 193334119591657193555112600533195335237453/427460393592893786966096244005555113657*a^12 - 29622042383470127267977820023106324479942/427460393592893786966096244005555113657*a^11 + 295677982494423706323401587653654708706817/427460393592893786966096244005555113657*a^10 - 243297042661848177013640342280169284799279/427460393592893786966096244005555113657*a^9 + 37786814224233070521356305610966017686848/427460393592893786966096244005555113657*a^8 + 60395907599150122769538591008804476789511/427460393592893786966096244005555113657*a^7 - 86143730535335848530111992867721543348442/427460393592893786966096244005555113657*a^6 + 84490150225429818263569107352094272914964/427460393592893786966096244005555113657*a^5 - 58631439602964739500085235717673515133403/427460393592893786966096244005555113657*a^4 + 19185793849615270302516331565901358762805/427460393592893786966096244005555113657*a^3 + 4467436198777320223184572198734184232745/427460393592893786966096244005555113657*a^2 - 1833077149263275868306486771442746725541/427460393592893786966096244005555113657*a - 570418547710394419434603016714358946787/427460393592893786966096244005555113657, 3940209593155499401935864811113615643443/9831589052636557100220213612127767614111*a^23 - 5760107430487611381845161776937671486749/9831589052636557100220213612127767614111*a^22 - 27130861445747641398277970305685784733599/9831589052636557100220213612127767614111*a^21 + 920839443509527357695786431825562268243/124450494337171608863547007748452754609*a^20 + 144206051515821257457576566154575865349900/9831589052636557100220213612127767614111*a^19 - 127320785966466972842482149259360782139635/9831589052636557100220213612127767614111*a^18 - 692272184256696095286354793560386967787777/9831589052636557100220213612127767614111*a^17 + 590209344092339266434262816643075978298147/9831589052636557100220213612127767614111*a^16 + 2513269017656135667629950297824426446388678/9831589052636557100220213612127767614111*a^15 - 2585444342636495693041227033761515177789401/9831589052636557100220213612127767614111*a^14 - 5679332299144497956925933757253283451015153/9831589052636557100220213612127767614111*a^13 + 10948694391591817161534188982970143194665856/9831589052636557100220213612127767614111*a^12 - 1343673539984282403149021746574623957624632/9831589052636557100220213612127767614111*a^11 - 11348636136179456924860014256510596835882755/9831589052636557100220213612127767614111*a^10 + 13629947685196747303522764156393199486741838/9831589052636557100220213612127767614111*a^9 - 10971126766472994667824447021536605788183031/9831589052636557100220213612127767614111*a^8 + 8490254996467017934910935401829486592900124/9831589052636557100220213612127767614111*a^7 - 4684440922382257211722095161947501850130633/9831589052636557100220213612127767614111*a^6 + 1739655337161763224066321107179557996434477/9831589052636557100220213612127767614111*a^5 + 128152658422038343274489046252316136067240/9831589052636557100220213612127767614111*a^4 - 1556447292427776128019591716319942385090/427460393592893786966096244005555113657*a^3 - 62979966284111880796456113228708291639293/9831589052636557100220213612127767614111*a^2 - 46411784512265945781464165889058903991003/9831589052636557100220213612127767614111*a - 7747114839230123892664717175888525442217/9831589052636557100220213612127767614111 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units()   gp: K.fu   magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];   oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:		\( 9344905.652391985 \) (assuming GRH)	sage: K.regulator()   gp: K.reg   magma: Regulator(K);   oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{4}\cdot(2\pi)^{10}\cdot 9344905.652391985 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{641953627807088196277618408203125}}\cr\approx \mathstrut & 0.282951345118995 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$\GL(2,5)$ (as 24T1353):

Intermediate fields

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Frobenius cycle types

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(5\) 5	5.4.3.4	$x^{4} + 15$	$4$	$1$	$3$	$C_4$	$[\ ]_{4}$
		Deg $20$	$5$	$4$	$28$
\(13\) 13	13.2.1.2	$x^{2} + 26$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	13.2.1.2	$x^{2} + 26$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	13.4.0.1	$x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	13.8.4.1	$x^{8} + 520 x^{7} + 101458 x^{6} + 8810644 x^{5} + 288610205 x^{4} + 142111548 x^{3} + 982314112 x^{2} + 3617879976 x + 920156436$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	13.8.4.1	$x^{8} + 520 x^{7} + 101458 x^{6} + 8810644 x^{5} + 288610205 x^{4} + 142111548 x^{3} + 982314112 x^{2} + 3617879976 x + 920156436$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$