Normalized defining polynomial

\( x^{28} + 28 x^{24} - 14 x^{23} - 35 x^{22} - 19 x^{21} + 1470 x^{20} - 4557 x^{19} + 9849 x^{18} + \cdots + 1 \) x^28 + 28*x^24 - 14*x^23 - 35*x^22 - 19*x^21 + 1470*x^20 - 4557*x^19 + 9849*x^18 - 9660*x^17 + 2863*x^16 + 12915*x^15 - 18102*x^14 + 12103*x^13 - 2891*x^12 - 21119*x^11 + 2975*x^10 - 4704*x^9 + 70*x^8 + 13698*x^7 + 6909*x^6 + 4900*x^5 + 5047*x^4 + 1015*x^3 - 7*x^2 - 7*x + 1

Invariants

Degree:		$28$	sage: K.degree()   gp: poldegree(K.pol)   magma: Degree(K);   oscar: degree(K)
Signature:		$[0, 14]$	sage: K.signature()   gp: K.sign   magma: Signature(K);   oscar: signature(K)
Discriminant:		\(194166288728873478373956441365593381326021\) 194166288728873478373956441365593381326021 \(\medspace = 3^{21}\cdot 7^{37}\)	sage: K.disc()   gp: K.disc   magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);   oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:		\(29.82\)	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())   gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))   magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));   oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:		$3^{3/4}7^{19/14}\approx 31.97125685688869$
Ramified primes:		\(3\), \(7\) 3, 7	sage: K.disc().support()   gp: factor(abs(K.disc))[,1]~   magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));   oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:		\(\Q(\sqrt{21}) \)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$2$	sage: K.automorphisms()   magma: Automorphisms(K);   oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $\frac{1}{3}a^{16}+\frac{1}{3}a^{15}+\frac{1}{3}a^{14}-\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{17}-\frac{1}{3}a^{14}-\frac{1}{3}a^{13}-\frac{1}{3}a^{12}-\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{6}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{15}a^{18}+\frac{2}{15}a^{16}-\frac{1}{3}a^{15}+\frac{7}{15}a^{14}+\frac{1}{3}a^{13}+\frac{2}{5}a^{12}-\frac{1}{3}a^{11}+\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}+\frac{2}{5}a^{6}+\frac{1}{3}a^{5}+\frac{2}{15}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{7}{15}a^{2}-\frac{4}{15}$, $\frac{1}{45}a^{19}-\frac{1}{15}a^{17}-\frac{1}{9}a^{16}+\frac{22}{45}a^{15}-\frac{4}{9}a^{14}-\frac{4}{45}a^{13}-\frac{4}{9}a^{11}-\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{9}a^{8}-\frac{19}{45}a^{7}+\frac{2}{9}a^{6}-\frac{13}{45}a^{5}+\frac{4}{9}a^{4}+\frac{2}{45}a^{3}-\frac{4}{9}a^{2}+\frac{1}{45}a+\frac{4}{9}$, $\frac{1}{45}a^{20}-\frac{1}{9}a^{17}-\frac{2}{45}a^{16}-\frac{4}{9}a^{15}-\frac{13}{45}a^{14}+\frac{1}{3}a^{13}-\frac{17}{45}a^{12}-\frac{1}{3}a^{11}+\frac{1}{3}a^{10}+\frac{2}{9}a^{9}-\frac{19}{45}a^{8}+\frac{2}{9}a^{7}+\frac{1}{9}a^{6}+\frac{4}{9}a^{5}-\frac{7}{45}a^{4}+\frac{2}{9}a^{3}-\frac{8}{45}a^{2}+\frac{1}{9}a+\frac{1}{15}$, $\frac{1}{315}a^{21}+\frac{1}{45}a^{18}+\frac{4}{45}a^{17}+\frac{7}{45}a^{16}-\frac{4}{45}a^{15}-\frac{52}{105}a^{14}-\frac{11}{45}a^{13}-\frac{1}{5}a^{12}+\frac{1}{3}a^{11}-\frac{4}{9}a^{10}-\frac{22}{45}a^{9}-\frac{4}{9}a^{8}+\frac{10}{63}a^{7}-\frac{4}{45}a^{6}+\frac{14}{45}a^{5}+\frac{22}{45}a^{4}+\frac{1}{45}a^{3}+\frac{17}{45}a^{2}+\frac{1}{5}a-\frac{11}{105}$, $\frac{1}{315}a^{22}+\frac{1}{45}a^{18}-\frac{1}{9}a^{17}-\frac{1}{9}a^{16}+\frac{22}{63}a^{15}+\frac{1}{15}a^{14}-\frac{1}{9}a^{13}+\frac{4}{15}a^{12}-\frac{1}{3}a^{11}-\frac{7}{45}a^{10}+\frac{2}{9}a^{9}-\frac{25}{63}a^{8}+\frac{1}{45}a^{6}+\frac{4}{9}a^{5}+\frac{1}{9}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}-\frac{7}{45}a^{2}+\frac{13}{63}a+\frac{7}{45}$, $\frac{1}{2205}a^{23}+\frac{1}{2205}a^{22}+\frac{2}{2205}a^{21}+\frac{1}{45}a^{18}+\frac{1}{315}a^{17}+\frac{19}{2205}a^{16}-\frac{709}{2205}a^{15}-\frac{67}{147}a^{14}-\frac{8}{45}a^{13}-\frac{7}{15}a^{12}+\frac{118}{315}a^{11}+\frac{113}{315}a^{10}-\frac{226}{735}a^{9}+\frac{115}{441}a^{8}+\frac{37}{147}a^{7}+\frac{7}{15}a^{6}-\frac{23}{105}a^{5}-\frac{4}{45}a^{4}-\frac{82}{315}a^{3}-\frac{211}{441}a^{2}-\frac{397}{2205}a-\frac{724}{2205}$, $\frac{1}{2205}a^{24}+\frac{1}{2205}a^{22}-\frac{2}{2205}a^{21}-\frac{2}{105}a^{18}+\frac{53}{735}a^{17}+\frac{4}{35}a^{16}-\frac{71}{245}a^{15}+\frac{41}{735}a^{14}-\frac{1}{5}a^{13}-\frac{31}{63}a^{12}-\frac{5}{21}a^{11}-\frac{734}{2205}a^{10}+\frac{74}{315}a^{9}+\frac{64}{147}a^{8}-\frac{13}{441}a^{7}+\frac{29}{315}a^{6}+\frac{3}{35}a^{5}+\frac{16}{315}a^{4}-\frac{193}{735}a^{3}+\frac{8}{105}a^{2}+\frac{1094}{2205}a+\frac{479}{2205}$, $\frac{1}{2205}a^{25}-\frac{1}{735}a^{22}-\frac{2}{2205}a^{21}+\frac{1}{315}a^{19}-\frac{37}{2205}a^{18}+\frac{2}{45}a^{17}+\frac{13}{105}a^{16}-\frac{59}{441}a^{15}+\frac{5}{441}a^{14}+\frac{83}{315}a^{13}+\frac{17}{105}a^{12}-\frac{67}{441}a^{11}+\frac{22}{105}a^{10}+\frac{43}{105}a^{9}-\frac{59}{147}a^{8}+\frac{922}{2205}a^{7}+\frac{139}{315}a^{6}-\frac{2}{105}a^{5}+\frac{346}{735}a^{4}-\frac{2}{7}a^{3}-\frac{17}{63}a^{2}-\frac{109}{441}a-\frac{72}{245}$, $\frac{1}{46293975}a^{26}+\frac{1063}{6613425}a^{25}-\frac{334}{5143775}a^{24}-\frac{58}{270725}a^{23}+\frac{2164}{3561075}a^{22}+\frac{2152}{6613425}a^{21}+\frac{8963}{1322685}a^{20}-\frac{64717}{46293975}a^{19}-\frac{188861}{6613425}a^{18}+\frac{97513}{712215}a^{17}-\frac{2502677}{46293975}a^{16}+\frac{19216598}{46293975}a^{15}-\frac{1454}{188955}a^{14}-\frac{493231}{2204475}a^{13}+\frac{22378672}{46293975}a^{12}-\frac{365048}{2204475}a^{11}+\frac{7403584}{15431325}a^{10}-\frac{2054524}{5143775}a^{9}+\frac{141486}{1028755}a^{8}+\frac{99646}{734825}a^{7}-\frac{968152}{2204475}a^{6}+\frac{4557776}{9258795}a^{5}-\frac{238}{4275}a^{4}-\frac{2536879}{15431325}a^{3}+\frac{4833194}{46293975}a^{2}+\frac{1869851}{15431325}a-\frac{2853551}{6613425}$, $\frac{1}{56\!\cdots\!25}a^{27}-\frac{35\!\cdots\!02}{33\!\cdots\!25}a^{26}+\frac{48\!\cdots\!59}{56\!\cdots\!25}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!98}{56\!\cdots\!25}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!68}{56\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{83\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!65}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!52}{56\!\cdots\!25}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!65}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!52}{56\!\cdots\!25}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!97}{56\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!65}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!28}{56\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{83\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!76}{71\!\cdots\!35}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!87}{56\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!25}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!27}{56\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!43}{56\!\cdots\!25}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!12}{56\!\cdots\!25}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!18}{56\!\cdots\!25}a+\frac{30\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!85}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14, a^15, 1/3*a^16 + 1/3*a^15 + 1/3*a^14 - 1/3*a^12 + 1/3*a^11 - 1/3*a^9 + 1/3*a^8 + 1/3*a^7 - 1/3*a^5 - 1/3*a^4 + 1/3*a^2 - 1/3*a + 1/3, 1/3*a^17 - 1/3*a^14 - 1/3*a^13 - 1/3*a^12 - 1/3*a^11 - 1/3*a^10 - 1/3*a^9 - 1/3*a^7 - 1/3*a^6 + 1/3*a^4 + 1/3*a^3 + 1/3*a^2 - 1/3*a - 1/3, 1/15*a^18 + 2/15*a^16 - 1/3*a^15 + 7/15*a^14 + 1/3*a^13 + 2/5*a^12 - 1/3*a^11 + 1/3*a^10 - 1/3*a^9 - 1/3*a^8 - 1/3*a^7 + 2/5*a^6 + 1/3*a^5 + 2/15*a^4 - 1/3*a^3 + 7/15*a^2 - 4/15, 1/45*a^19 - 1/15*a^17 - 1/9*a^16 + 22/45*a^15 - 4/9*a^14 - 4/45*a^13 - 4/9*a^11 - 1/3*a^10 - 1/9*a^8 - 19/45*a^7 + 2/9*a^6 - 13/45*a^5 + 4/9*a^4 + 2/45*a^3 - 4/9*a^2 + 1/45*a + 4/9, 1/45*a^20 - 1/9*a^17 - 2/45*a^16 - 4/9*a^15 - 13/45*a^14 + 1/3*a^13 - 17/45*a^12 - 1/3*a^11 + 1/3*a^10 + 2/9*a^9 - 19/45*a^8 + 2/9*a^7 + 1/9*a^6 + 4/9*a^5 - 7/45*a^4 + 2/9*a^3 - 8/45*a^2 + 1/9*a + 1/15, 1/315*a^21 + 1/45*a^18 + 4/45*a^17 + 7/45*a^16 - 4/45*a^15 - 52/105*a^14 - 11/45*a^13 - 1/5*a^12 + 1/3*a^11 - 4/9*a^10 - 22/45*a^9 - 4/9*a^8 + 10/63*a^7 - 4/45*a^6 + 14/45*a^5 + 22/45*a^4 + 1/45*a^3 + 17/45*a^2 + 1/5*a - 11/105, 1/315*a^22 + 1/45*a^18 - 1/9*a^17 - 1/9*a^16 + 22/63*a^15 + 1/15*a^14 - 1/9*a^13 + 4/15*a^12 - 1/3*a^11 - 7/45*a^10 + 2/9*a^9 - 25/63*a^8 + 1/45*a^6 + 4/9*a^5 + 1/9*a^4 + 1/3*a^3 - 7/45*a^2 + 13/63*a + 7/45, 1/2205*a^23 + 1/2205*a^22 + 2/2205*a^21 + 1/45*a^18 + 1/315*a^17 + 19/2205*a^16 - 709/2205*a^15 - 67/147*a^14 - 8/45*a^13 - 7/15*a^12 + 118/315*a^11 + 113/315*a^10 - 226/735*a^9 + 115/441*a^8 + 37/147*a^7 + 7/15*a^6 - 23/105*a^5 - 4/45*a^4 - 82/315*a^3 - 211/441*a^2 - 397/2205*a - 724/2205, 1/2205*a^24 + 1/2205*a^22 - 2/2205*a^21 - 2/105*a^18 + 53/735*a^17 + 4/35*a^16 - 71/245*a^15 + 41/735*a^14 - 1/5*a^13 - 31/63*a^12 - 5/21*a^11 - 734/2205*a^10 + 74/315*a^9 + 64/147*a^8 - 13/441*a^7 + 29/315*a^6 + 3/35*a^5 + 16/315*a^4 - 193/735*a^3 + 8/105*a^2 + 1094/2205*a + 479/2205, 1/2205*a^25 - 1/735*a^22 - 2/2205*a^21 + 1/315*a^19 - 37/2205*a^18 + 2/45*a^17 + 13/105*a^16 - 59/441*a^15 + 5/441*a^14 + 83/315*a^13 + 17/105*a^12 - 67/441*a^11 + 22/105*a^10 + 43/105*a^9 - 59/147*a^8 + 922/2205*a^7 + 139/315*a^6 - 2/105*a^5 + 346/735*a^4 - 2/7*a^3 - 17/63*a^2 - 109/441*a - 72/245, 1/46293975*a^26 + 1063/6613425*a^25 - 334/5143775*a^24 - 58/270725*a^23 + 2164/3561075*a^22 + 2152/6613425*a^21 + 8963/1322685*a^20 - 64717/46293975*a^19 - 188861/6613425*a^18 + 97513/712215*a^17 - 2502677/46293975*a^16 + 19216598/46293975*a^15 - 1454/188955*a^14 - 493231/2204475*a^13 + 22378672/46293975*a^12 - 365048/2204475*a^11 + 7403584/15431325*a^10 - 2054524/5143775*a^9 + 141486/1028755*a^8 + 99646/734825*a^7 - 968152/2204475*a^6 + 4557776/9258795*a^5 - 238/4275*a^4 - 2536879/15431325*a^3 + 4833194/46293975*a^2 + 1869851/15431325*a - 2853551/6613425, 1/56886505789770608186789192755949152872825*a^27 - 35771743980121858223672198187002/3346265046457094599222893691526420757225*a^26 + 4890967528896389031317022851379939359/56886505789770608186789192755949152872825*a^25 - 10625099556366108249359044203804188398/56886505789770608186789192755949152872825*a^24 - 2898963745687758145722200931706792168/56886505789770608186789192755949152872825*a^23 - 8385805029321695344524879033491837722/18962168596590202728929730918649717624275*a^22 - 5124770479904835024267019529648667907/11377301157954121637357838551189830574565*a^21 - 143836718842553444371475236126409852552/56886505789770608186789192755949152872825*a^20 + 168580481679482036512749836525218516786/18962168596590202728929730918649717624275*a^19 - 334761206129850742795660742558684736832/11377301157954121637357838551189830574565*a^18 - 7869364020393380425596957173485158316252/56886505789770608186789192755949152872825*a^17 - 5425147797802850197501811098570350477697/56886505789770608186789192755949152872825*a^16 + 2917378281513395641795291922337403653542/11377301157954121637357838551189830574565*a^15 - 18065210444992952018802679796622872038/221348271555527658314354835626261295225*a^14 - 2040828868053594711079579570229354116771/18962168596590202728929730918649717624275*a^13 - 17179018384327708843272430107136975957028/56886505789770608186789192755949152872825*a^12 + 137501011742625634361966853596660760722/1387475750970014833824126652584125679825*a^11 - 8350654401805098700956246159228759086282/18962168596590202728929730918649717624275*a^10 - 451528972547034656445223624322980676/7115260261384691455508341808123721435*a^9 - 11839730086098826147007280825158147948687/56886505789770608186789192755949152872825*a^8 + 158577169665303741681732277334348833648/1387475750970014833824126652584125679825*a^7 - 36956580658832449995648257351001278381/133850601858283783968915747661056830289*a^6 - 445411079924388290016561841179722674727/56886505789770608186789192755949152872825*a^5 + 11402197122221631326657307754067073030943/56886505789770608186789192755949152872825*a^4 - 2830905091693953200741502271210034700722/18962168596590202728929730918649717624275*a^3 - 7375988574927877501630875490748423933012/56886505789770608186789192755949152872825*a^2 + 9456026709750301306867170715593909019418/56886505789770608186789192755949152872825*a + 300956330243363765190411252983147228718/1264144573106013515261982061243314508285

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$13$	sage: UK.rank()   gp: K.fu   magma: UnitRank(K);   oscar: rank(UK)
Torsion generator:		\( -\frac{2483015689689046132493535544}{135590657338272663144140439575} a^{27} + \frac{2550543468967063270793151703}{135590657338272663144140439575} a^{26} - \frac{399125827023381464749367464}{135590657338272663144140439575} a^{25} + \frac{5339565635006596601382103}{4785552611939035169793191985} a^{24} - \frac{69618072586628078637744406409}{135590657338272663144140439575} a^{23} + \frac{106253445256546974600845969303}{135590657338272663144140439575} a^{22} + \frac{119850001201105857689343127274}{406771972014817989432421318725} a^{21} - \frac{1894113248788320169802516891}{7975921019898391949655319975} a^{20} - \frac{3689312465566995731063620029961}{135590657338272663144140439575} a^{19} + \frac{15070188960599642672111541589406}{135590657338272663144140439575} a^{18} - \frac{36667504056741658515065598846192}{135590657338272663144140439575} a^{17} + \frac{51149522515922769936197617155879}{135590657338272663144140439575} a^{16} - \frac{36506418125527823753562191525819}{135590657338272663144140439575} a^{15} - \frac{4321473322594020558373154494}{31034712139682458948075175} a^{14} + \frac{14781353780222136425805463800152}{27118131467654532628828087915} a^{13} - \frac{236578907182029997695256974094232}{406771972014817989432421318725} a^{12} + \frac{1100707315458103496336303720491}{3307089203372503979125376575} a^{11} + \frac{38185084449299036945595814437488}{135590657338272663144140439575} a^{10} - \frac{73537725712684747062956184953}{174057326493289683111861925} a^{9} + \frac{25372018618811115752087887460923}{135590657338272663144140439575} a^{8} - \frac{356887161289165830050959144831}{3307089203372503979125376575} a^{7} - \frac{31218436408085924827447862317339}{135590657338272663144140439575} a^{6} + \frac{16821201697778245653747351112203}{135590657338272663144140439575} a^{5} + \frac{607109558819869352566853417219}{135590657338272663144140439575} a^{4} - \frac{764906593331357705290854969772}{81354394402963597886484263745} a^{3} + \frac{452436643392682952353581058149}{7136350386224877007586338925} a^{2} + \frac{1098898729747356602719239949854}{135590657338272663144140439575} a - \frac{3881275378066986026342599727}{406771972014817989432421318725} \) -(2483015689689046132493535544)/(135590657338272663144140439575)*a^(27) + (2550543468967063270793151703)/(135590657338272663144140439575)*a^(26) - (399125827023381464749367464)/(135590657338272663144140439575)*a^(25) + (5339565635006596601382103)/(4785552611939035169793191985)*a^(24) - (69618072586628078637744406409)/(135590657338272663144140439575)*a^(23) + (106253445256546974600845969303)/(135590657338272663144140439575)*a^(22) + (119850001201105857689343127274)/(406771972014817989432421318725)*a^(21) - (1894113248788320169802516891)/(7975921019898391949655319975)*a^(20) - (3689312465566995731063620029961)/(135590657338272663144140439575)*a^(19) + (15070188960599642672111541589406)/(135590657338272663144140439575)*a^(18) - (36667504056741658515065598846192)/(135590657338272663144140439575)*a^(17) + (51149522515922769936197617155879)/(135590657338272663144140439575)*a^(16) - (36506418125527823753562191525819)/(135590657338272663144140439575)*a^(15) - (4321473322594020558373154494)/(31034712139682458948075175)*a^(14) + (14781353780222136425805463800152)/(27118131467654532628828087915)*a^(13) - (236578907182029997695256974094232)/(406771972014817989432421318725)*a^(12) + (1100707315458103496336303720491)/(3307089203372503979125376575)*a^(11) + (38185084449299036945595814437488)/(135590657338272663144140439575)*a^(10) - (73537725712684747062956184953)/(174057326493289683111861925)*a^(9) + (25372018618811115752087887460923)/(135590657338272663144140439575)*a^(8) - (356887161289165830050959144831)/(3307089203372503979125376575)*a^(7) - (31218436408085924827447862317339)/(135590657338272663144140439575)*a^(6) + (16821201697778245653747351112203)/(135590657338272663144140439575)*a^(5) + (607109558819869352566853417219)/(135590657338272663144140439575)*a^(4) - (764906593331357705290854969772)/(81354394402963597886484263745)*a^(3) + (452436643392682952353581058149)/(7136350386224877007586338925)*a^(2) + (1098898729747356602719239949854)/(135590657338272663144140439575)*a - (3881275378066986026342599727)/(406771972014817989432421318725)  (order $6$)	sage: UK.torsion_generator()   gp: K.tu[2]   magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);   oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:		$\frac{27\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{36\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!63}{14\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{60\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!34}{63\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!52}{63\!\cdots\!25}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!85}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!04}{63\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!29}{58\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!01}{63\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!39}{63\!\cdots\!25}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!33}{92\!\cdots\!55}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!98}{75\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!01}{63\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!75}a+\frac{24\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!55}$, $\frac{30\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{46\!\cdots\!07}{37\!\cdots\!55}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{85\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!23}{90\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!84}{63\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{98\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!77}{63\!\cdots\!25}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!41}{63\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!59}{90\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!67}{63\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{53\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{64\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!25}a-\frac{23\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!75}$, $\frac{82\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{57\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!65}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!75}a^{21}+\frac{93\!\cdots\!32}{56\!\cdots\!25}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!59}{56\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!52}{56\!\cdots\!25}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!46}{27\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!43}{63\!\cdots\!25}a^{15}+\frac{71\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!61}{56\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!25}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!96}{56\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!83}{29\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!33}{56\!\cdots\!25}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!81}{56\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{80\!\cdots\!63}{56\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!66}{81\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!61}{56\!\cdots\!25}a+\frac{23\!\cdots\!72}{56\!\cdots\!25}$, $\frac{85\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!76}{99\!\cdots\!25}a^{26}+\frac{36\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!65}a^{25}-\frac{61\!\cdots\!69}{63\!\cdots\!25}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!71}{56\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!75}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!81}{81\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!74}{56\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!92}{63\!\cdots\!25}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!37}{56\!\cdots\!25}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!13}{99\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!98}{81\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!61}{56\!\cdots\!25}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!26}{56\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{43\!\cdots\!53}{81\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!36}{81\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!23}{56\!\cdots\!25}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!56}{56\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!21}{43\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!66}{33\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!51}{56\!\cdots\!25}a+\frac{74\!\cdots\!52}{56\!\cdots\!25}$, $\frac{26\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!57}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!34}{81\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!42}{56\!\cdots\!25}a^{25}+\frac{74\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!09}{56\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{62\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!47}{90\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!84}{56\!\cdots\!25}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!80}{22\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!69}{56\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!59}{49\!\cdots\!05}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!67}{56\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!37}{81\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!55}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{89\!\cdots\!54}{63\!\cdots\!25}a^{6}+\frac{67\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!95}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!31}{56\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!93}{33\!\cdots\!25}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!98}{56\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{66\!\cdots\!69}{56\!\cdots\!25}a+\frac{19\!\cdots\!46}{56\!\cdots\!25}$, $\frac{67\!\cdots\!49}{56\!\cdots\!25}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!43}{56\!\cdots\!25}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!23}{75\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!44}{56\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!48}{56\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{86\!\cdots\!33}{56\!\cdots\!25}a^{20}+\frac{99\!\cdots\!36}{56\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!46}{56\!\cdots\!25}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{95\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!76}{73\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!55}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!52}{46\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!38}{56\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!28}{56\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!87}{56\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!11}{56\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{45\!\cdots\!17}{87\!\cdots\!05}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!94}{56\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!14}{56\!\cdots\!25}a-\frac{69\!\cdots\!31}{56\!\cdots\!25}$, $\frac{76\!\cdots\!72}{56\!\cdots\!25}a^{27}-\frac{51\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!13}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!91}{56\!\cdots\!25}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!06}{56\!\cdots\!25}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!48}{54\!\cdots\!65}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!51}{56\!\cdots\!25}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!83}{56\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{97\!\cdots\!89}{56\!\cdots\!25}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!65}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!26}{56\!\cdots\!25}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!85}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!41}{63\!\cdots\!25}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!14}{22\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!19}{56\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!65}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!96}{92\!\cdots\!55}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!26}{56\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!92}{33\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!45}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!59}{63\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!55}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!42}{56\!\cdots\!25}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!65}a-\frac{14\!\cdots\!01}{56\!\cdots\!25}$, $\frac{21\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!15}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!55}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!65}a^{25}-\frac{55\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!65}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!35}a^{23}-\frac{42\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!65}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!21}{87\!\cdots\!05}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!95}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!65}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!65}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{88\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!45}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!55}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!65}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!65}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!85}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!95}a^{9}-\frac{97\!\cdots\!54}{87\!\cdots\!05}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!80}{61\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!41}{54\!\cdots\!65}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!62}{66\!\cdots\!45}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!89}{37\!\cdots\!55}a+\frac{19\!\cdots\!12}{22\!\cdots\!15}$, $\frac{68\!\cdots\!64}{56\!\cdots\!25}a^{27}+\frac{50\!\cdots\!38}{29\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{73\!\cdots\!31}{56\!\cdots\!25}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!43}{66\!\cdots\!45}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!99}{56\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{69\!\cdots\!08}{56\!\cdots\!25}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!18}{56\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{95\!\cdots\!29}{33\!\cdots\!25}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!41}{56\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!46}{56\!\cdots\!25}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!37}{56\!\cdots\!25}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{95\!\cdots\!14}{56\!\cdots\!25}a^{15}+\frac{70\!\cdots\!88}{43\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!98}{97\!\cdots\!45}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!25}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!52}{63\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!38}{56\!\cdots\!25}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!67}{56\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!76}{56\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!23}{37\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!74}{56\!\cdots\!25}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!94}{63\!\cdots\!25}a-\frac{20\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!75}$, $\frac{41\!\cdots\!14}{56\!\cdots\!25}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!65}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!41}{81\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{63\!\cdots\!99}{81\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{77\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!55}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{95\!\cdots\!12}{43\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{81\!\cdots\!62}{75\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{97\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!25}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!25}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!55}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!58}{56\!\cdots\!25}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{88\!\cdots\!98}{56\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{85\!\cdots\!26}{66\!\cdots\!45}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!57}{39\!\cdots\!95}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!16}{81\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!76}{43\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!65}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!73}{56\!\cdots\!25}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!32}{56\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!95}a^{4}+\frac{59\!\cdots\!88}{20\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!56}{63\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!85}a+\frac{12\!\cdots\!53}{56\!\cdots\!25}$, $\frac{14\!\cdots\!88}{56\!\cdots\!25}a^{27}-\frac{92\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!57}{69\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!94}{56\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!65}a^{22}-\frac{44\!\cdots\!24}{56\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{61\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{69\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{55\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!37}{56\!\cdots\!25}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{96\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!84}{56\!\cdots\!25}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!95}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!81}{56\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!66}{99\!\cdots\!25}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!59}{56\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!06}{56\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!12}{81\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!65}a^{2}-\frac{86\!\cdots\!69}{56\!\cdots\!25}a+\frac{89\!\cdots\!22}{56\!\cdots\!25}$, $\frac{14\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!65}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!31}{33\!\cdots\!25}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!78}{56\!\cdots\!25}a^{25}-\frac{52\!\cdots\!88}{56\!\cdots\!25}a^{24}+\frac{66\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!37}{81\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!56}{43\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!85}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!29}{37\!\cdots\!55}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!03}{42\!\cdots\!25}a^{15}+\frac{70\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!45}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!18}{56\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!86}{63\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!15}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!02}{33\!\cdots\!25}a^{6}+\frac{90\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!65}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!84}{56\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!54}{56\!\cdots\!25}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{74\!\cdots\!73}{81\!\cdots\!75}a-\frac{14\!\cdots\!76}{56\!\cdots\!25}$, $\frac{35\!\cdots\!04}{56\!\cdots\!25}a^{27}-\frac{36\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{43\!\cdots\!58}{99\!\cdots\!25}a^{25}-\frac{62\!\cdots\!97}{56\!\cdots\!25}a^{24}+\frac{99\!\cdots\!43}{56\!\cdots\!25}a^{23}-\frac{80\!\cdots\!14}{56\!\cdots\!25}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!01}{29\!\cdots\!35}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!93}{56\!\cdots\!25}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!07}{56\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!55}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!42}{56\!\cdots\!25}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!09}{33\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!85}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!86}{73\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!37}{56\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!28}{56\!\cdots\!25}a^{12}-\frac{70\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!34}{56\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!65}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!91}{43\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{94\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!65}a^{6}+\frac{94\!\cdots\!17}{56\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!51}{99\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!31}{56\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{98\!\cdots\!48}{56\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{96\!\cdots\!83}{56\!\cdots\!25}a+\frac{85\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!65}$ 2700021095916068528709620871787505090176/18962168596590202728929730918649717624275*a^27 - 365739171233148664365494558962245684404/18962168596590202728929730918649717624275*a^26 + 6201623480639607494290835677866332663/1458628353583861748379210070665362894175*a^25 - 6074755964088964607973761615742012758/18962168596590202728929730918649717624275*a^24 + 25198152397018633711838547076087526196634/6320722865530067576309910306216572541425*a^23 - 16011242038910854716469228594874594819352/6320722865530067576309910306216572541425*a^22 - 497887881107048533112704568669784412343/108355249123372587022455605249426957853*a^21 - 39791335715459715286978579277469456846227/18962168596590202728929730918649717624275*a^20 + 3973066775916624208663849591771725023582723/18962168596590202728929730918649717624275*a^19 - 856177088113335723480271313286429196140114/1264144573106013515261982061243314508285*a^18 + 28377710654165156899626167113375745815798603/18962168596590202728929730918649717624275*a^17 - 10020174562130706835682286854569025571764404/6320722865530067576309910306216572541425*a^16 + 37156273228642796212082347962347783467129/58345134143354469935168402826614515767*a^15 + 2622393775892018436822715131987605593228/1505770554799507879689488677729668675*a^14 - 17804791885261353921268378874893659236532001/6320722865530067576309910306216572541425*a^13 + 13499192350039748208090904069909438151496139/6320722865530067576309910306216572541425*a^12 - 113573975887237031742069909487267068757336/154163972330001648202680739176013964425*a^11 - 3221506927049996046589129060218246868143083/1115421682152364866407631230508806919075*a^10 + 75522176637047445403095855446433959416033/92498383398000988921608443505608378655*a^9 - 15616099471334477253272299570936684282392412/18962168596590202728929730918649717624275*a^8 + 450670291953128068291818491276369818586/3477382834511315372992798628030390175*a^7 + 1460826380057043865206352040714224790759498/758486743863608109157189236745988704971*a^6 + 13676196894748800900349708155882685557593003/18962168596590202728929730918649717624275*a^5 + 11850717027012342432386101668757056422119978/18962168596590202728929730918649717624275*a^4 + 12254446529647305038210589580796729427218774/18962168596590202728929730918649717624275*a^3 + 402721260274174829389021850241845796167201/6320722865530067576309910306216572541425*a^2 - 19644985061025037900420358132499880573307/18962168596590202728929730918649717624275*a + 24882979257202656604305906917864073313/180592081872287645037426008749044929755, 30167849669410273399237167065452671662/18962168596590202728929730918649717624275*a^27 - 1591163522041697097594387170438418617/1458628353583861748379210070665362894175*a^26 + 4665084671277691557053047233009415207/3792433719318040545785946183729943524855*a^25 - 16793357814489252305322219208318263068/18962168596590202728929730918649717624275*a^24 + 858020636660541640754048262089286641683/18962168596590202728929730918649717624275*a^23 - 48285811952361227524155372941582485223/902960409361438225187130043745224648775*a^22 - 101596079571426965888358561178837756442/18962168596590202728929730918649717624275*a^21 - 50330287593069470174775277361117933273/1458628353583861748379210070665362894175*a^20 + 14847254841182933267150777203583408225984/6320722865530067576309910306216572541425*a^19 - 9898908861152063903994981844306146342527/1115421682152364866407631230508806919075*a^18 + 142011076967147935134161032645296315007977/6320722865530067576309910306216572541425*a^17 - 208781497159887293692333469028384192033241/6320722865530067576309910306216572541425*a^16 + 87467565744679672232811449445911785770013/2708881228084314675561390131235673946325*a^15 - 181157677966287710163837906847348576087/24594252395058628701594981736251255025*a^14 - 379064476628856312624009017364379195050098/18962168596590202728929730918649717624275*a^13 + 676169665470539650328007403570546380895033/18962168596590202728929730918649717624275*a^12 - 1221306984897048763536267195454986570254/35576301306923457277541709040618607175*a^11 - 108010954478546903968307240271440798686253/18962168596590202728929730918649717624275*a^10 + 2900839773419393309049001302445258003508/462491916990004944608042217528041893275*a^9 - 17095652800861952813278283185738530361659/902960409361438225187130043745224648775*a^8 + 298774851154913929998746484382515531188/24341679841579207610949590396212731225*a^7 + 19546408163992963511642983516152868026412/1458628353583861748379210070665362894175*a^6 + 12606551571668547172390993501548340863867/6320722865530067576309910306216572541425*a^5 + 226858563458247098727625469648442296755682/18962168596590202728929730918649717624275*a^4 + 57116165741986132418931472839371998791409/18962168596590202728929730918649717624275*a^3 + 53944519628198669423960989992198520759/18962168596590202728929730918649717624275*a^2 - 64461859967448425981010996512405290759/2708881228084314675561390131235673946325*a - 2318031416794799094557330054049761407064/18962168596590202728929730918649717624275, 82209063250252962975829263229943677528/18962168596590202728929730918649717624275*a^27 - 111775954543285762199046446866294134484/18962168596590202728929730918649717624275*a^26 - 5776640545475179198205647391308364147/11377301157954121637357838551189830574565*a^25 + 1694880699472083068407383602342448701/1458628353583861748379210070665362894175*a^24 + 139787873664142214211539540475106365859/1160949097750420575240595770529574548425*a^23 - 250556281768798436750977085858215387181/1115421682152364866407631230508806919075*a^22 - 1602413237728740808918898208204506595733/18962168596590202728929730918649717624275*a^21 + 9347895044507626761435915546529785665132/56886505789770608186789192755949152872825*a^20 + 367394352396044703378286366137897898438759/56886505789770608186789192755949152872825*a^19 - 538656512696648761492257048045600705234601/18962168596590202728929730918649717624275*a^18 + 3912725769779389444106001638724272766332552/56886505789770608186789192755949152872825*a^17 - 259779832760928887755636216393712267551346/2708881228084314675561390131235673946325*a^16 + 364076346647447200757214839068017637647243/6320722865530067576309910306216572541425*a^15 + 717817566780784342530152821753004917207/11649909029238297806018675559276910275*a^14 - 10448321694473087826508587947288828177590961/56886505789770608186789192755949152872825*a^13 + 610535149432917279368117740209627679516048/3346265046457094599222893691526420757225*a^12 - 122427238783922359357374189828884083936154/1387475750970014833824126652584125679825*a^11 - 5083908353356446297468696205530521046371296/56886505789770608186789192755949152872825*a^10 + 32505718562165080689282701578380826129993/198210821567144976260589521797732239975*a^9 - 1081874224402416363375188875455442731666041/18962168596590202728929730918649717624275*a^8 + 4539886078103794148169311784789516308461/154163972330001648202680739176013964425*a^7 + 185931385210041422529282821305929753006983/2994026620514242536146799618734165940675*a^6 - 3445094861881373722520264863494475383456833/56886505789770608186789192755949152872825*a^5 - 996709173706129241465012503912467564298481/56886505789770608186789192755949152872825*a^4 + 8066269211477734805923736355332677623163/56886505789770608186789192755949152872825*a^3 - 216852008251982025092485237421963943627466/8126643684252944026684170393707021838975*a^2 - 192298887577411776908563234996624445969461/56886505789770608186789192755949152872825*a + 23950882306227912231061871373178984115372/56886505789770608186789192755949152872825, 8579719975378730765753375576942863487/386983032583473525080198590176524849475*a^27 - 23350635761009896358751044853259292876/998008873504747512048933206244721980225*a^26 + 36763254158542703117383691228497810606/11377301157954121637357838551189830574565*a^25 - 6117303018053105034389167141212820569/6320722865530067576309910306216572541425*a^24 + 35351142477474961954410586067930388407371/56886505789770608186789192755949152872825*a^23 - 18315166588150788162042141115200507204587/18962168596590202728929730918649717624275*a^22 - 6781097707507459445909897589969297112333/18962168596590202728929730918649717624275*a^21 + 2640717770372769506222367171334764329381/8126643684252944026684170393707021838975*a^20 + 1874680916125802327322305934422023485898174/56886505789770608186789192755949152872825*a^19 - 856290026524290854979161534303335653535492/6320722865530067576309910306216572541425*a^18 + 18757840945247832709616865625719533439596237/56886505789770608186789192755949152872825*a^17 - 459854100520938046050894663901070365149713/998008873504747512048933206244721980225*a^16 + 6194906391186928504331875394966984915436134/18962168596590202728929730918649717624275*a^15 + 38755982002423339311739967917735339832038/221348271555527658314354835626261295225*a^14 - 5496429825124970924058243842707175763931898/8126643684252944026684170393707021838975*a^13 + 40894840768821159252746695916443391230726661/56886505789770608186789192755949152872825*a^12 - 564997864285989714285372307904942828641424/1387475750970014833824126652584125679825*a^11 - 19690740446688726620044612401733012455816526/56886505789770608186789192755949152872825*a^10 + 43560956565603122935512748865267960970653/81616220645294990224948626622595628225*a^9 - 257860180883886552113376433268261082998113/1115421682152364866407631230508806919075*a^8 + 61737045767951899416454124637630692210413/462491916990004944608042217528041893275*a^7 + 2278594107172157551777374010501026893923736/8126643684252944026684170393707021838975*a^6 - 9281288456475014796613913730215623635639323/56886505789770608186789192755949152872825*a^5 - 646297924188939890019088735568043641981456/56886505789770608186789192755949152872825*a^4 + 46904245197872204647792843344660758485021/4375885060751585245137630211996088682525*a^3 - 274881953050801969156919421939498009729566/3346265046457094599222893691526420757225*a^2 - 596633738847609054121253783802308897761951/56886505789770608186789192755949152872825*a + 74321854957405684129699424970958321764152/56886505789770608186789192755949152872825, 26205573655640293675786766624967502294/252828914621202703052396412248662901657*a^27 - 176004112311941638628050042302616666034/8126643684252944026684170393707021838975*a^26 + 108074692905078508304994981821972694442/56886505789770608186789192755949152872825*a^25 + 7410825004650875834982698951073821056/18962168596590202728929730918649717624275*a^24 + 165068038431660440504870238424160280871709/56886505789770608186789192755949152872825*a^23 - 39009281984675848884722800871147075521612/18962168596590202728929730918649717624275*a^22 - 62037477426077270278306135917702840365774/18962168596590202728929730918649717624275*a^21 - 2791513658915738030027503561853855431937/2275460231590824327471567710237966114913*a^20 + 137873762539303338152935112442954262608347/902960409361438225187130043745224648775*a^19 - 28682290493496429943553077633031176339124384/56886505789770608186789192755949152872825*a^18 + 2553808313049021987294433411691673847898780/2275460231590824327471567710237966114913*a^17 - 69551399960998585815437206906817173504578469/56886505789770608186789192755949152872825*a^16 + 9901924667032624062213674538329990006736842/18962168596590202728929730918649717624275*a^15 + 6220995932962488108091445594418103922759/4918850479011725740318996347250251005*a^14 - 122920065565060525141510712401018937293652767/56886505789770608186789192755949152872825*a^13 + 13663651206279047920004658697838909793939037/8126643684252944026684170393707021838975*a^12 - 277181068066706734208820990208151255690677/462491916990004944608042217528041893275*a^11 - 9234486147491017497632391465230570205207217/4375885060751585245137630211996088682525*a^10 + 1072330207312285557906966036342531568228423/1387475750970014833824126652584125679825*a^9 - 2292166045232180810947525505331144187162853/3792433719318040545785946183729943524855*a^8 + 160254392574433546291299958967301825689051/1387475750970014833824126652584125679825*a^7 + 8941592409514439738817705926833222693702654/6320722865530067576309910306216572541425*a^6 + 674193600970281418678415145790165264749727/1625328736850588805336834078741404367795*a^5 + 22201353921314028252905078775544339712338331/56886505789770608186789192755949152872825*a^4 + 1442944217555127103652530747956273984218093/3346265046457094599222893691526420757225*a^3 + 143272812173718378044173759521417900945598/56886505789770608186789192755949152872825*a^2 - 664528172275472629904339403026916234454669/56886505789770608186789192755949152872825*a + 19451752140878870173352345147098150836946/56886505789770608186789192755949152872825, 6730487315007632116554836880811561528649/56886505789770608186789192755949152872825*a^27 - 1067262077474538154393513290885594872443/56886505789770608186789192755949152872825*a^26 - 2651311164337134486072709571635728167/18962168596590202728929730918649717624275*a^25 + 1933479484660210201052541350864069323/758486743863608109157189236745988704971*a^24 + 188298071070160691414649133159541723926544/56886505789770608186789192755949152872825*a^23 - 41314165127148040999502407942941813909101/18962168596590202728929730918649717624275*a^22 - 220992413742421683624366710844333622090348/56886505789770608186789192755949152872825*a^21 - 86233113644417288259119832232858020567533/56886505789770608186789192755949152872825*a^20 + 9907871574270247705085170508312444682390536/56886505789770608186789192755949152872825*a^19 - 32237650785810742185839682053078487581674846/56886505789770608186789192755949152872825*a^18 + 23712203039131452001351359775860656698508219/18962168596590202728929730918649717624275*a^17 - 4428000283910250957296464208659663396418972/3346265046457094599222893691526420757225*a^16 + 9536059467178308504060877831167531203465128/18962168596590202728929730918649717624275*a^15 + 111974489541586570830767227868167616481776/73782757185175886104784945208753765075*a^14 - 9303541439733215934543945904700635139858809/3792433719318040545785946183729943524855*a^13 + 35027211777363050961433835938272008417352563/18962168596590202728929730918649717624275*a^12 - 281008977770980156361230151979359306015152/462491916990004944608042217528041893275*a^11 - 140044737520612327631692698472315497385914238/56886505789770608186789192755949152872825*a^10 + 1122080860480784927943539513248110707548442/1387475750970014833824126652584125679825*a^9 - 38867536721787575528380794784604813009507228/56886505789770608186789192755949152872825*a^8 + 17354998370818554211787796190717455896109/154163972330001648202680739176013964425*a^7 + 30764166196723825521781981731072472229534683/18962168596590202728929730918649717624275*a^6 + 30441343895453772089645970454969848574833787/56886505789770608186789192755949152872825*a^5 + 26902571066006855961604152048013865347821011/56886505789770608186789192755949152872825*a^4 + 452913945656832651402114339869666867525417/875177012150317049027526042399217736505*a^3 + 1484807827996948869140278669311640288146194/56886505789770608186789192755949152872825*a^2 - 359592174525096503372468326668965270955614/56886505789770608186789192755949152872825*a - 6976909461793675602426418072892262121031/56886505789770608186789192755949152872825, 7618900406708799353217353947782383675272/56886505789770608186789192755949152872825*a^27 - 51855277103792010021095636583336576268/2275460231590824327471567710237966114913*a^26 + 124657087304804671323969506092727308691/56886505789770608186789192755949152872825*a^25 + 117930479645385552367322592436623810806/56886505789770608186789192755949152872825*a^24 + 2030942898857303040741567666134270742448/541776245616862935112278026247134789265*a^23 - 142879829046247731848885111918469397869551/56886505789770608186789192755949152872825*a^22 - 245119014580653829929240319042819958676283/56886505789770608186789192755949152872825*a^21 - 97749443433543206046679094756006376408889/56886505789770608186789192755949152872825*a^20 + 2243220725822234415656082777933900894371441/11377301157954121637357838551189830574565*a^19 - 36627979816141063969710576320147570056842026/56886505789770608186789192755949152872825*a^18 + 27042011709535852539097447430997642857574092/18962168596590202728929730918649717624275*a^17 - 354118839648775261214713102424872461406642/232189819550084115048119154105914909685*a^16 + 3878625144735014261724348488338723112375941/6320722865530067576309910306216572541425*a^15 + 370170289067108957046008777453674236941714/221348271555527658314354835626261295225*a^14 - 156757740897297691260887657600601720212379919/56886505789770608186789192755949152872825*a^13 + 23956728757702323513826814697732719443207771/11377301157954121637357838551189830574565*a^12 - 66475340950335071726335695562540581004196/92498383398000988921608443505608378655*a^11 - 156523559470133116656732726410667985969136126/56886505789770608186789192755949152872825*a^10 + 10599066539314340908022164823415849769583/11659460092184998603564089517513661175*a^9 - 2631773542472242182439832205012355936323992/3346265046457094599222893691526420757225*a^8 + 292594604052081599723345173867916438067/2371753420461563818502780602707907145*a^7 + 34506486945344451226267499559407801338083058/18962168596590202728929730918649717624275*a^6 + 3805093512694004655587361471013697867036259/6320722865530067576309910306216572541425*a^5 + 2072151629727389215950954431947216539783401/3792433719318040545785946183729943524855*a^4 + 33729707592997553913308262431898376405714642/56886505789770608186789192755949152872825*a^3 + 17045924516618570727645318435967414254502/478037863779584942746127670218060108175*a^2 - 76512436042696422494050607435200370188639/11377301157954121637357838551189830574565*a - 1470508241961386436349644043650724257701/56886505789770608186789192755949152872825, 2183053533693382684360739111525746774/12220516818425479739374692321363942615*a^27 - 164925262413071400689968178067434039218/3792433719318040545785946183729943524855*a^26 + 127419812771952255560258768915620965809/11377301157954121637357838551189830574565*a^25 - 55206022153820803534203937830981844714/11377301157954121637357838551189830574565*a^24 + 142719761946457503851125423223250313342/28514539242992786058540948749849199435*a^23 - 42341587815900382659115791773628442631191/11377301157954121637357838551189830574565*a^22 - 4662413482494216176153781239554685304521/875177012150317049027526042399217736505*a^21 - 3521713556153117760814402785318370725421/1625328736850588805336834078741404367795*a^20 + 598888538345433761517550073557511031837803/2275460231590824327471567710237966114913*a^19 - 9991053464745254740277792409287238535217524/11377301157954121637357838551189830574565*a^18 + 22460374293039856187118145483769308634258344/11377301157954121637357838551189830574565*a^17 - 102729190757867405116642458072836409431504/46437963910016823009623830821182981937*a^16 + 2432074540382511741037975238361578847758737/2275460231590824327471567710237966114913*a^15 + 88859582952130235561138940416154669641668/44269654311105531662870967125252259045*a^14 - 662182859885147777507305306045996346077576/180592081872287645037426008749044929755*a^13 + 34181200982798726491775150783894934393649538/11377301157954121637357838551189830574565*a^12 - 342098471888239403163751585516601945895802/277495150194002966764825330516825135965*a^11 - 4355900250247674924997901892827504334817409/1264144573106013515261982061243314508285*a^10 + 52206943635532815973389269007663880230286/39642164313428995252117904359546447995*a^9 - 976836853191112102424088371667992697061154/875177012150317049027526042399217736505*a^8 + 1726164923068416464191704326455800539380/6166558893200065928107229567040558577*a^7 + 1283574665470824711772950571230896145223541/541776245616862935112278026247134789265*a^6 + 455524218637810347403503438486087731169062/669253009291418919844578738305284151445*a^5 + 1590345547836954217734420528590021091373399/2275460231590824327471567710237966114913*a^4 + 2738808115833503641244082283670794291086592/3792433719318040545785946183729943524855*a^3 + 2463436129272796333125271773890556205079/325065747370117761067366815748280873559*a^2 - 50053033304220296514941621290392540889489/3792433719318040545785946183729943524855*a + 194625233976880994510132773891254265312/223084336430472973281526246101761383815, 6867588638148883312910600419358234373964/56886505789770608186789192755949152872825*a^27 + 50885216471194719371586571923665374138/2994026620514242536146799618734165940675*a^26 - 73952397972414597541658044055472790531/56886505789770608186789192755949152872825*a^25 + 131568780126392757695110108041947543/669253009291418919844578738305284151445*a^24 + 192303379082999925539796536890527254722499/56886505789770608186789192755949152872825*a^23 - 69100125619563580874224243151822439014608/56886505789770608186789192755949152872825*a^22 - 255938641866107408899478282622080713443818/56886505789770608186789192755949152872825*a^21 - 9589073121050114374240024106852956782929/3346265046457094599222893691526420757225*a^20 + 10079756724039038692865642405317952360550841/56886505789770608186789192755949152872825*a^19 - 29874241282481315299197781049611282946667646/56886505789770608186789192755949152872825*a^18 + 63125078582974981476750956033004774503808337/56886505789770608186789192755949152872825*a^17 - 228608148206567306859325619091111279114322/230309740039557118165138432210320456975*a^16 + 9559973835700632312348366187631526698393114/56886505789770608186789192755949152872825*a^15 + 7034464386639899602723977394924886126588/4340162187363287417928526188750221475*a^14 - 191249004012001042749757529923146399004398/97241890238924116558614004711024192945*a^13 + 4933391597290374156691221929149487181766523/4375885060751585245137630211996088682525*a^12 - 142447137208154956834370574340388857684951/1387475750970014833824126652584125679825*a^11 - 16641256643575115867419722754864364991225752/6320722865530067576309910306216572541425*a^10 + 20259876964918399788172978185043311145447/1387475750970014833824126652584125679825*a^9 - 27779291178830284631562485176527529520102738/56886505789770608186789192755949152872825*a^8 - 42243860482851226874223135463221760872263/462491916990004944608042217528041893275*a^7 + 31743948991935739161929991709126334015531308/18962168596590202728929730918649717624275*a^6 + 60184755691609149426154157728184969171344967/56886505789770608186789192755949152872825*a^5 + 39430558385197907217861132870461077652674376/56886505789770608186789192755949152872825*a^4 + 2612765735263072128404919187326259760381023/3792433719318040545785946183729943524855*a^3 + 11476849596554035321383710764539266558145674/56886505789770608186789192755949152872825*a^2 + 73655841579989041270502353677349557494494/6320722865530067576309910306216572541425*a - 20595287889823810213903207689508368494842/18962168596590202728929730918649717624275, 41622331888632952470034632185913930817714/56886505789770608186789192755949152872825*a^27 - 2165125767228374611762868783515448309747/11377301157954121637357838551189830574565*a^26 + 344751435995792393448888367876049736541/8126643684252944026684170393707021838975*a^25 - 63319462635169602359215283736033779399/8126643684252944026684170393707021838975*a^24 + 77696750948927127590739023433715396789201/3792433719318040545785946183729943524855*a^23 - 17368468076883424597385078446474143254437/1115421682152364866407631230508806919075*a^22 - 95207590163217454659282107702739113363612/4375885060751585245137630211996088682525*a^21 - 152692024953005914827564511734147904596221/18962168596590202728929730918649717624275*a^20 + 817505964757660839384070738880600900699362/758486743863608109157189236745988704971*a^19 - 9791249389189296791447717002650465073405987/2708881228084314675561390131235673946325*a^18 + 1049487163117786299411649535330589688849017/128994344194491175026732863392174949825*a^17 - 34689462584406191409828867708711230475645458/3792433719318040545785946183729943524855*a^16 + 249565755147127756891124361985864412102298658/56886505789770608186789192755949152872825*a^15 + 1863112125700751417370405384460875199629808/221348271555527658314354835626261295225*a^14 - 882059453477239660402788905257042965364227098/56886505789770608186789192755949152872825*a^13 + 8588610629985576809746844986200338101136726/669253009291418919844578738305284151445*a^12 - 210307711973251431961600525883537636765257/39642164313428995252117904359546447995*a^11 - 115559427496832773648174399548732715643101916/8126643684252944026684170393707021838975*a^10 + 918641218675841464469111414339488643568596/154163972330001648202680739176013964425*a^9 - 21355231759361956456374623108218214567193976/4375885060751585245137630211996088682525*a^8 + 347298414811564027206943740089545820216776/277495150194002966764825330516825135965*a^7 + 555135837685644851691319203908137463803336273/56886505789770608186789192755949152872825*a^6 + 141800609086132156882337773476346328488410532/56886505789770608186789192755949152872825*a^5 + 4631415339230993512228458213921100172850034/1625328736850588805336834078741404367795*a^4 + 59906418176483101791921680929771931881388/20367528030709132898957820535606571025*a^3 - 324870858692058528633614458132083796682656/6320722865530067576309910306216572541425*a^2 - 20068436832298373327638576913169671343244/1264144573106013515261982061243314508285*a + 123335145177652717638620146792174061231753/56886505789770608186789192755949152872825, 14248696170906565298461318643294232329188/56886505789770608186789192755949152872825*a^27 - 928537187431386037997995846361126659576/18962168596590202728929730918649717624275*a^26 + 174983027944641154954118724727212947897/18962168596590202728929730918649717624275*a^25 - 149198807600023890731373731195862657/69458493027802940399010003365017280675*a^24 + 398999329516565223012123123888978148776194/56886505789770608186789192755949152872825*a^23 - 55499250516632785562212369598257638079484/11377301157954121637357838551189830574565*a^22 - 444994939535750492562281506225341824915024/56886505789770608186789192755949152872825*a^21 - 61338552445661466825449653765315803874387/18962168596590202728929730918649717624275*a^20 + 6994288381529821679353550426282735776006327/18962168596590202728929730918649717624275*a^19 - 1353585177781166763981763697240735606442158/1115421682152364866407631230508806919075*a^18 + 1046277344237908399673409516794897443268527/386983032583473525080198590176524849475*a^17 - 55883471646904998861542064907412096152308638/18962168596590202728929730918649717624275*a^16 + 73483301153520584908300370916493286290116337/56886505789770608186789192755949152872825*a^15 + 11576452783173059370353409119677579369633/3883303009746099268672891853092303425*a^14 - 96924237356269913762646835033902305528217826/18962168596590202728929730918649717624275*a^13 + 228709463866714787390475290778505336546361884/56886505789770608186789192755949152872825*a^12 - 2085403763897676579838399207810941765823691/1387475750970014833824126652584125679825*a^11 - 8120858863931740143202819577950040291163743/1625328736850588805336834078741404367795*a^10 + 2382522494347602987364055630380494083534311/1387475750970014833824126652584125679825*a^9 - 85339693594219088865588090565256365384276681/56886505789770608186789192755949152872825*a^8 + 429075554554760693896644768862811142882481/1387475750970014833824126652584125679825*a^7 + 3367520794479253558329240179961764214253766/998008873504747512048933206244721980225*a^6 + 61056522659980972782329613434647764717897059/56886505789770608186789192755949152872825*a^5 + 57361205629768678956198520750350927627733106/56886505789770608186789192755949152872825*a^4 + 8661961026904112747517082110467693193044812/8126643684252944026684170393707021838975*a^3 + 479551018335958856030390849008302474505736/11377301157954121637357838551189830574565*a^2 - 861336658350433048503959192787996809328569/56886505789770608186789192755949152872825*a + 89559453451245745230575683288247466619022/56886505789770608186789192755949152872825, 1435313815017167620017973276974517498618/11377301157954121637357838551189830574565*a^27 - 19659500619863713223701322920472825131/3346265046457094599222893691526420757225*a^26 + 22907314970164650248901377580828425578/56886505789770608186789192755949152872825*a^25 - 52778789207684607468219227199158665688/56886505789770608186789192755949152872825*a^24 + 66988847147999447814301886520612583027127/18962168596590202728929730918649717624275*a^23 - 15693609410187974942035166345229211278037/8126643684252944026684170393707021838975*a^22 - 18911131558665673510269189745423404754156/4375885060751585245137630211996088682525*a^21 - 2810582099121227590193623644252887840593/1264144573106013515261982061243314508285*a^20 + 3518825828829476424464546614103946201497608/18962168596590202728929730918649717624275*a^19 - 11064849147832181310203912203917610029981782/18962168596590202728929730918649717624275*a^18 + 4815979106633090542817540251763051616568229/3792433719318040545785946183729943524855*a^17 - 24266538031802205526136460867580417790937622/18962168596590202728929730918649717624275*a^16 + 182515885209729941228834692075595430137903/427718088644891790878114231247737991525*a^15 + 70698085581249982442800663470305794876057/44269654311105531662870967125252259045*a^14 - 133290503380564005642366482258239034854609118/56886505789770608186789192755949152872825*a^13 + 30828982284834546584190286955354159727636497/18962168596590202728929730918649717624275*a^12 - 618024663345381244605722511333790081708429/1387475750970014833824126652584125679825*a^11 - 16612709488907105202994265294894080039522486/6320722865530067576309910306216572541425*a^10 + 665526131177890422360394239224306545047502/1387475750970014833824126652584125679825*a^9 - 75622232401415442816555572732840381071003/125025287450045292718218006057031105215*a^8 + 20888333511782612560066980026604769950203/462491916990004944608042217528041893275*a^7 + 5763194593243473380124865932364288872153902/3346265046457094599222893691526420757225*a^6 + 9094904138784873411763104679405087008958678/11377301157954121637357838551189830574565*a^5 + 32884004911076721380090480208435632820694384/56886505789770608186789192755949152872825*a^4 + 34307899885841822629118243424050867173786054/56886505789770608186789192755949152872825*a^3 + 1864269166957539521933751068977197463279324/18962168596590202728929730918649717624275*a^2 - 74916374232642555324724683993687857231573/8126643684252944026684170393707021838975*a - 142606189026861985634348986165755364171676/56886505789770608186789192755949152872825, 3556458804802341177061345924243755290204/56886505789770608186789192755949152872825*a^27 - 366386673263765493223385551608248128322/18962168596590202728929730918649717624275*a^26 + 4316766500581295976074637534969398258/998008873504747512048933206244721980225*a^25 - 62006026463911539918825549677532578897/56886505789770608186789192755949152872825*a^24 + 99589039596548375557079016008771220916343/56886505789770608186789192755949152872825*a^23 - 80547175139393470961896769035317305143514/56886505789770608186789192755949152872825*a^22 - 524050842140496812586219256393495686101/291725670716772349675842014133072578835*a^21 - 34291526581247063348057829477507537865693/56886505789770608186789192755949152872825*a^20 + 5241358692857849017887077896105247372456507/56886505789770608186789192755949152872825*a^19 - 1188306933061411756283769112667154996290758/3792433719318040545785946183729943524855*a^18 + 40398995261555101394083717678706205608565842/56886505789770608186789192755949152872825*a^17 - 2729096228287720391330788477217613169323109/3346265046457094599222893691526420757225*a^16 + 522607511085646093194489299372839259384868/1264144573106013515261982061243314508285*a^15 + 51607487156489541312255427290920639155586/73782757185175886104784945208753765075*a^14 - 77267702295205994959450846472183626923195737/56886505789770608186789192755949152872825*a^13 + 66005623674538514495802888949679416026254528/56886505789770608186789192755949152872825*a^12 - 704746191997743246448906796272012695246547/1387475750970014833824126652584125679825*a^11 - 67791896866694315698714531623321629867633534/56886505789770608186789192755949152872825*a^10 + 158317044804692590683274179903207849282023/277495150194002966764825330516825135965*a^9 - 1927819106312684107179141254603890236712891/4375885060751585245137630211996088682525*a^8 + 179339248918683590210157663447782852558042/1387475750970014833824126652584125679825*a^7 + 9455191048076886455381571870329295342252139/11377301157954121637357838551189830574565*a^6 + 9489816248901700415762155723041059939015017/56886505789770608186789192755949152872825*a^5 + 227933334357142682482779136718839784507651/998008873504747512048933206244721980225*a^4 + 13565051864289667703398343017479304918492031/56886505789770608186789192755949152872825*a^3 - 980429019923271486816161875895154149665648/56886505789770608186789192755949152872825*a^2 - 9677832940360289891544833903095134902683/56886505789770608186789192755949152872825*a + 8562542935638967029644306164701522092882/11377301157954121637357838551189830574565 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units()   gp: K.fu   magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];   oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:		\( 13724323267.71925 \) (assuming GRH)	sage: K.regulator()   gp: K.reg   magma: Regulator(K);   oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{14}\cdot 13724323267.71925 \cdot 1}{6\cdot\sqrt{194166288728873478373956441365593381326021}}\cr\approx \mathstrut & 0.775837792097827 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$D_{28}$ (as 28T10):

Intermediate fields

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Frobenius cycle types

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\) 3	3.4.3.1	$x^{4} + 3$	$4$	$1$	$3$	$D_{4}$	$[\ ]_{4}^{2}$
	3.8.6.2	$x^{8} + 6 x^{5} + 6 x^{4} + 18 x^{2} + 18 x + 9$	$4$	$2$	$6$	$D_4$	$[\ ]_{4}^{2}$
	3.8.6.2	$x^{8} + 6 x^{5} + 6 x^{4} + 18 x^{2} + 18 x + 9$	$4$	$2$	$6$	$D_4$	$[\ ]_{4}^{2}$
	3.8.6.2	$x^{8} + 6 x^{5} + 6 x^{4} + 18 x^{2} + 18 x + 9$	$4$	$2$	$6$	$D_4$	$[\ ]_{4}^{2}$
\(7\) 7	7.14.18.23	$x^{14} + 42 x^{13} + 777 x^{12} + 8372 x^{11} + 58807 x^{10} + 289170 x^{9} + 1074619 x^{8} + 3344382 x^{7} + 9376654 x^{6} + 22416786 x^{5} + 39663806 x^{4} + 45629668 x^{3} + 31016412 x^{2} + 11931696 x + 2670097$	$7$	$2$	$18$	$D_{14}$	$[3/2]_{2}^{2}$
	7.14.19.4	$x^{14} + 21 x^{7} + 42 x^{6} + 21$	$14$	$1$	$19$	$D_{14}$	$[3/2]_{2}^{2}$

Artin representations